整数、多项式及其他数学对象的联系

梗概

本文先简单比较了整数与多项式的特点；随后探讨了笔者感兴趣的三个问题：建立整数、多项式、进制的联系；将多项式视为向量，定义“多项式空间”；最后讨论了向量带余除法的可行性。（因为是有了基本的想法后，就开始边思考边写的，所以文风十分地随便）

经过一段时间的学习，不难发现整数与多项式有着千丝万缕的联系，简略地归纳如下

运算与性质	整数	多项式
加法	Y	Y
减法	Y	Y
乘法	Y	Y
分配律	Y	Y
消去律	Y	Y
除法	N	N
带余除法	Y	Y
辗转相除	Y	Y
最大公因数(式)	Y	Y
基本定理	算数基本定理	存在唯一因式分解
基本粒子	素数	不可约多项式

直观上就可以看出，多项式与整数简直可谓“异曲同工”。稍分析一下，我们发现，二者最基本的共同点，在于

$$对+, -,\times 封闭, 但对\div不封闭$$

于是都根据乘法定义了带余除法作为弥补。

下面将结合初等数论、线性空间等理论，尝试把这一联系继续扩展。

1. 数，进位制，多项式三者的映射

初等数论中有进位制的概念：

设$a\geq 2$ 是给定的正整数，则任一正整数$n$ 一定可以唯一地表示为

$$n = r_ka^k + r_{k-1}a^{k-1}+\cdots+r_1a+r_0$$

其中整数$k\geq 0,\space 0\leq r_j\leq a-1(0\leq j\leq k),r_k \neq 0$.

参照对方程的做法，我们可以定义正整数$n$ 在$a$ 进制下的坐标$(r_0,r_{1},\cdots,r_{k-1},r_k)$ 。相应地，我们定义负整数$-n$ 的坐标$(-r_0,-r_{1},\cdots,-r_{k-1},-r_k)$，$0$ 的坐标$(0,0,\cdots,0,0)$ 。于是我们建立了对给定的$a$，整数到坐标的映射。

同时，根据多项式函数的概念，我们知道，一般的$k$ 阶多项式

$$f(x) =b_kx^k + b_{k-1}x^{k-1}+\cdots+b_1x+r_0$$

对于给定的$x$ 有唯一的$f(x)$ 与之对应。也即对给定的系数$b_0,b_{1},\cdots,b_{k-1},b_k$，$x$ 到$f(x)$ 的映射。

不难看出$(2),(3)$ 式的形式出奇的一致。将两个映射结合起来，我们可以得到以下的可逆映射

$$整数 \stackrel{进制}{\rightleftharpoons} 坐标$$

其中“整数”对应上述$n,f(x)$，“进制”对应$x,a$，坐标对应$r_i,b_i$ 其中$i = 0,1,\cdots,k-1,k$。

这里(4)式中的“坐标”是简便称呼，我们完全可以将(4)看作是一个可逆的进制转换映射：

1. 任意十进制整数$n$，给定进制$a$ ，可以得到唯一的坐标$\{r_i\}$，这个坐标即是$n$ 的$a$ 进制表示；
2. 任意坐标$\{r_i\}$，给定进制$a$，可以得到唯一的十进制数$n$。

2. 多项式空间

我们在上节中仿照对方程的做法定义了多项式的坐标，于是便自然地想到：能否将多项式的坐标看作向量？下面将对这个问题进行探索。

若想将多项式看作向量，需要定义“多项式向量”的运算。加法与减法毋须赘言，自然地就要将对应元素分别运算。下面主要考虑乘法的定义。

我们先来看方程与矩阵是如何考虑的。研究方程的目的是为了求解方程组，所以那里的“乘法”是对矩阵进行变换。这与多项式的需求不同，无法参考，但告诉我们不必研究“多项式矩阵”。

若直接从多项式乘法本身来看，我们发现“多项式向量”的乘法会带来阶的增加，而向量的乘法（包括数量积与矢量积）没有这个性质。我们定义“多项式向量”的积：

$$f = (a_0,a_{1},\cdots,a_{j-1},a_j)\\ g = (b_0,b_{1},\cdots,b_{k-1},b_k)\\ h= (a_0b_0,a_0b_{1}+b_0a_1,\cdots,a_{j-1}b_k+b_{k-1}a_j,a_jb_k)\\ f\heartsuit g = h$$

其中$\deg f = j,\space\deg g = k,\space\deg h = j+k$。

同时，不难验证，如此定义的，可由“多项式向量”$(1,1)$ 生成的一个集合，满足线性空间的$8$ 条性质，可以视为一个线性空间。姑且将其记作$\text{Poly} \langle(1,1)\rangle$。于是我们可以使用线性空间理论来研究多项式。

3. 向量的带余除法

研究过2. 后，便自然地想到它的逆问题：向量能否像多项式一样定义带余除法？

正如我们前面分析过的，向量也像整数、多项式一样具有加法、减法、乘法(矢量积) 的封闭性，而对除法不封闭，自然地也想尝试为向量定义带余除法：

$$\forall a,b\in \R^n,\space \exists!q,r\in \R^n,\space\text{s.t.}\\ a = qb +r.$$

带余除法的定义需要解决两个问题：证明存在性、补充对$q,r$ 的限制实现唯一性。

存在性

令$q = 1$，由向量差的存在性可证。

唯一性

总结整数与多项式的带余除法的定义中，对$q,r$ 的限制，大致可以概括为：最大的$q$ 或最小的$r$。想要知道向量的“大小”，我们需要序的概念。

整数可以用正整数差比较大小，且由此定义为一个全序集。多项式的差无谓正负，于是用阶数定义序，由此得到一个偏序集。由前面的讨论我们知道，相比于整数，向量与多项式的相似之处更多，但同一个向量空间内的向量的阶是等大的，我们还需要寻找其他的性质来定义向量空间的序。

但遗憾的是，一方面，向量的矢量积不满足结合律，即使对于确定的$r$，也不存在唯一的$q$ 满足(6)；另一方面，向量没有一个合适的序定义使得其随相乘而增大。

感想

虽然本文的三个研究都不足为外人道：进制转换略显平庸，多项式向量画蛇添足，向量的带余除法力不能至。但这过程中收获最大的、也是最令我愉快的，是发现与探索数学对象之间联系的过程。