等额本息计算公式推导

　　等额本息、等额本金是两种常见的还款方式，是常见的金融术语，我们购房贷款时也会遇到这两个还款方式的选择。等额本息的每期还款总金额（本金+利息）是固定的，那么这个数值是怎么计算出来的呢？近期业务开发中刚好遇到等额本息的相关需求，整理记录了一下计算公式与推导过程。

一、等额本息每期还款总金额计算公式

　　假设贷款总金额为A，月利率为β，贷款期数为k，每期需还款总金额（本金+利息）为x，则：

　　第一期还款后，欠款总金额 Q1 = A * (1 + β) - x

　　第二期还款后，欠款总金额 Q2 = Q1 * (1 + β) - x = [A * (1 + β) - x] * (1 + β) - x = A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x

　　第三期还款后，欠款总金额 Q3 = Q2 * (1 + β) - x = {A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x} * (1 + β) - x = A * (1 + β) ^ 3 - [(1 + β) ^ 2 + (1 + β) + 1] * x

　　由此可得出，第k期还款后，欠款总金额 Qk = Qk-1 * (1 + β) - x = ... = A * (1 + β) ^ k - [(1 + β) ^ (k-1) + (1 + β) ^ (k-2) + ... + 1] * x。

　　我们发现[]内是等比数列，等比数列求和公式是不是又忘记了？我们一起来推导下。设y=1 + β，则Sk = 1 + y + y ^2 + ... + y ^ (k-1)，y * Sk = y + y ^2 + ... + y ^ (k-1) + y ^ k，两公式相差得 y * Sk - Sk = y ^ k - 1，从而得出Sk = (y ^ k - 1) / (y -1)。

　　由此继续 Qk = A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x，第k期还款后贷款结束，因此Qk = 0，即 A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x = 0，得出等额本息每期还款本息总额 x = A * β * (1 + β) ^ k / [(1 + β) ^ k - 1]，这便是每期需要还款的总金额。

二、等额本息每期还款本金计算公式

　　等额本息每期还款总金额x公式已经有了，那么每期还款的本金是多少呢？假设第n期还款本金为Pn，则：

　　第一期需还本金 P1 = x - A * β

　　第二期需还本金 P2 = x - (A - P1) * β = x - {A - [x - A * β]} * β = x - A * β + (x - A * β) * β = P1 + P1 * β = P1 * (1 + β)

　　第三期需还本金 P3 = x - (A - P1 - P2) * β = x - {A - P1 - P1 * (1 + β)} * β = x - A * β + P1 * β + P1 * (1 + β) * β = P1 * (1 + β) ^ 2

　　则可以猜测第n期需还本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)

　　下面我们来论证这个公式，假设公式成立，则 P(n + 1) = x - [A - P1 - P2 - ... -Pn] * β = x - {A - P1 * [1 + (1 + β) + ... + (1 + β) ^ (n - 1)]} * β = x - {A - P1 * [(1 + β) ^ n - 1] / β} * β = x - A * β + P1 * [(1 + β) ^ n - 1] = p1 * (1 + β) ^ n

　　由此可以得出，等额本息还款中每期还款本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)

三、首期利息与末期本金

1、首期利息

　　等额本息中，首期还款可能存在不足月的情况，这时候本金可以严格按照上述公式得出，但利息肯定不能按满月算了（每期还款利息是按期数-月为单位的），这时候首期利息得需要按实际使用天数进行特殊计算。

　　假设第一期还款时实际使用天数为 t，则首期利息 L1 = A * β * t / 30　　

　　如何计算首期实际使用天数？

　　首期实际使用天数计算实性的是“对月对日”，首先找到首期还款日t1对应上一期的还款日t0（若当月t0不存在，则往下延一天，即下月的首日），再比较起息日y和t0的天数差，综合，首期实际使用天数 t = 30 - (y - t0)。

　　范例：

　　1) 起息日2018-02-15，首期还款日2018-03-10，则t0为2018-02-10，得出首期实际使用天数 t = 30- (2018-02-15 - 2018-02-10) = 25

　　2) 起息日2018-03-02，首期还款日2018-03-31，则t0为2018-03-01（对应2018-02-31不存在，则顺延一天），得出首期实际使用天数 t = 30- (2018-03-02 - 2018-03-01) = 29

2、末期本金

　　由于每期还款本金是公式计算后取四舍五入的值，存在精度丢失问题，因此末期还款本金金额为 Pk = A - P1 - P2 - ... - P(k-1)

四、总结

　　假设贷款总金额为A，月利率为β，贷款期数为k，每期需还款总金额（本金+利息）为x，第n期需还款本金为Pn，第n期需还利息为Ln，则：

　　第1至k-1期每期还款本金 Pn (1 <= n < k) = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)

　　第k期还款本金 Pk = A - P1 - P2 - ... - P(k-1)

　　第1期还款利息 L1 = A * β * t / 30 　　

　　第2期到k期还款利息 Ln = x - Pn

　　第1期还款本息总额 w1 = P1 + L1

　　第2期至k期还款本息总额 wn = x