二分问题模板
二分查找是不是玄学编程
寻找一个数字
最简单的场景，寻找一个数字返回索引
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1; // 注意
while(left <= right) {//思考1：为什么是小于等于
int mid = left + (right - left) / 2;
if(nums[mid] == target)
return mid;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1; // 思考2：为什么是mid+1
else if (nums[mid] > target)
right = mid - 1; // 思考3：为什么是mid-1
}
return -1;
}
思考一：为什么while中是小于等于
while中的区间表示的是查找区间，并且right的初始值为nums.length-1。当条件为left<=right时，显而易见退出的区间为[right+1,right]，即查找区间为空的时候，退出查找。如果条件改为left<right这种错误形式，那么就会存在这样一种情况，当left=right=nums.length-1,查找就会退出，而恰好我们寻找的值就处于数组最后一位，因此程序因为查找不到target而返回-1，程序出错。
思考二和思考三：为什么有的程序中更新边界值为mid，有的范围进行缩小呢？
首先需要明确一个概念，在搜索过程中，我们的搜索区间是[left,right]一个闭区间，如果发现当前mid不符合我们的查找条件，那么我们下一步一定实在[mid+1,right]或者[left,mid-1]这个区间中搜索，因此每次查找的值不符合条件需要将边界条件进行缩小。
寻找左边界的二分查找（思考一）
int left_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0;
int right = nums.length; // 思考二
while (left < right) { // 思考三
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
right = mid;//思考六
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;//思考五
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid; // 思考四
}
}
return left;
}
思考一：什么是左边界的二分查找
左边界可以理解为包括左边界在内的右侧值都满足查找条件，例如有一个数组[-1,2,3,4,5,6]，输入target的值为1，那么程序最终返回的结果就是1，表示的是从index=1开始，右侧的值都满足大于等于1这个条件。
思考二和思考三：为什么右边界的值是nums.length()而不是nums.length()-1以及为什么while中是<而不是<=
这两个思考配套来想，因为我们的问题是寻找左边界，搜索区间可以定义为[left,right),即目标值出现的位置永远在一个左闭右开区间之中，这就是为什么while中的条件需要是left<right,而不是left<=right。我们的右边界需要初始化需要定义为nums.length，否则就会丢失数组中最后一个index=nums.length()-1的搜索。
思考四和思考五：为什么这里的边界值right=mid,left=mid+1
结合搜索区间来想，每次搜索搜索区间都会被划分为[left,mid),[mid,right)，二者都是左闭右开，代码中这样设置边界值，可以做到不重不漏的搜索。
思考六：为什么这个算法可以寻找左闭右开的区间呢
这是因为当nums[mid]==target的时候，没有立即返回而是缩小了搜索区间的上界，即rigth=mid，这样的话，下次的搜索就会在[left,right)中进行。
当然，while的条件也可以设置为<=，聪明的读者可以自行补充
寻找右边界的二分查找（思考一）
int right_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1; // 思考二
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
return left - 1; // 思考三
}
该算法的搜索区间仍然采用左闭右开区间，算法的实现与寻找左边界雷同。
思考一：什么是右区间的二分查找
可以参考左区间的二分查找，右区间的二分查找就是当一个序列左边的值都满足条件的时候，我们需要找到满足条件最右边的那个值。
思考二：算法是怎么实现可以找到右边界的？
当nums[mid]==target的时候，我们需要缩小搜索区间，因此将left=mid+1,一直缩小满足条件的区间。可以设想一下，如果left=mid,这样的话，区间最终会被缩小到一个值mid，从而陷入死循环，即每次都会执行left=mid无法结束循环。
思考三：为什么最后的返回值为left-1,而不是left
正如思考二所言，满足条件的时候，left=mid+1,所以最后当left=right退出的循环的时候，left指向的位置是满足条件的后一位，所以需要返回left-1的操作。
总结：二分问题三步走
- 判断问题区间为寻找某一个值，还是左边界，亦或是右边界。
- 根据问题区间，思考每次搜索将大区间，划分为哪两个小区间，从而设定每个条件判断中的边界设定。
- 根据while跳出时的边界关系，判断返回值。
小试牛刀：
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/magnetic-force-between-two-balls/
题目描述：Rick 有 n 个空的篮子，第 i 个篮子的位置在 position[i] ，Morty 想把 m 个球放到这些篮子里，使得任意两球间最小磁力最大。已知两个球如果分别位于 x 和 y ，那么它们之间的磁力为 |x - y| 。给你一个整数数组 position 和一个整数 m ，请你返回最大化的最小磁力。
解法分析：本题最终结果是最近的两个球的距离，换言之，求怎样摆放能使最近的两个球距离最大。可以使用二分答案的思想，即设置答案区间为1到position[position.size()-1]，二分答案区间，显而易见，答案是一个右边界，即较小的答案满足情况下，我们需要找到一个最大值最为最终答案。查找到一个距离，使用贪心的思想，遍历position排序后数组当两个桶的距离大于等于目标距离即放球，以此来check搜索到的的答案是否满足题意。
AC代码：
class Solution {
public:
bool check(vector<int>& position, int dis, int m){
int cnt = 1;
int p = 0;
for(int i=1;i<position.size();i++){
if(position[i]-position[p]>=dis){
p = i;
cnt ++;
}
if(cnt>=m){
return true;
}
}
return false;
}
int maxDistance(vector<int>& position, int m) {
sort(position.begin(),position.end());
int left = 1;
int right = position[position.size()-1];
int mid = 0;
while (left < right) {
mid = left + ((right - left) >> 1);
bool res = check(position,mid,m);
if(res==true) //如果当前的mid满足条件，说明[left,mid]都满足，缩小区间为[mid+1,right)
left = mid + 1;
else
right = mid;//如果当前的mid不满足，说明[mid,right)都不满足，缩小区间为[left,mid)
}
return left-1;
}
};
