点位精度评定
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第1章点位精度评定
1.1 简介
下图显示了一系列的散点。点位精度评定就是计算一些数值，用来评定这些点的离散程度。精度评定数值越小说明点的离散程度越小，精度越高。
1.2 期望
上图的圆心和椭圆中心，是散点的真实位置。假定其坐标为
，那么
就是随机变量
的期望，
就是随机变量
的期望。
期望的数值，有可能是已知的，也可能是未知的。在未知的情况下，需要对期望进行估值。一般情况下，期望的估值采用的是算术平均值，即：
1.3 方差
方差用来描述随机变量的离散程度，它的数值越小说明离散度越低。
随机变量
的方差： 
随机变量
的方差： 
注意：如果随机变量
的期望
使用的是估计值
，则方差的估值为
。把
改成
的原因在于：求出
后，
的自由度由
变成了
。
1.4 标准差
标准差也叫中误差，它是方差的平方根，即：
随机变量
的标准差： 
或 
随机变量
的标准差： 
或 
1.5 协方差
随机变量
、
之间的协方差：
同样的，如果期望
和
使用的是估计值，则
按下式计算
1.6 DRMS
离散随机变量
的均方根RMS（Root Mean Square）为：
点位误差里的RMS其实是距离均方根差（DRMS），即：
将
代入上式，可得
1.7 2DRMS
双倍距离均方根
的计算公式如下：
1.8 CEP
圆概率误差CEP（Circular Error Probable）的含义：以
为圆心，CEP为半径画一个圆，点落入圆内的概率为50%。其计算公式如下：
1.9 CEP95
CEP95（也被称之为R95）的含义：以
为圆心，CEP95为半径画一个圆，点落入圆内的概率为95%。其计算公式如下：
1.10 CEP99
CEP99的含义：以
为圆心，CEP99为半径画一个圆，点落入圆内的概率为99%。其计算公式如下：
1.11 对比
CEP、CEP95、CEP99之间是有严格的比例关系的；DRMS、2DRMS之间也是有严格的比例关系的；那么CEP与DRMS有什么关系呢？
假定
，则：
，
。此时
。
换句话说就是CEP与DRMS之间有着近似的转换公式：
这几个统计量从小到大依次为：CEP、DRMS、CEP95、2DRMS、CEP99。
以
为圆心，各个统计量为半径，点落入这个圆的概率见下表：
|
统计量 |
概率 |
|
CEP |
50% |
|
DRMS |
63%~68% |
|
CEP95 |
95% |
|
2DRMS |
95%~98% |
|
CEP99 |
99% |
1.12 SEP
SEP的含义：以
为球心，SEP为半径画一个圆球，点落入球内的概率为50%。其计算公式如下：
1.13 误差椭圆
在二维平面内，点位沿着任意方向
的方差按下式计算：
化简后可得：
上式中
注意：
表示原点到
的方位角。
当
时（
）
取最大值
；
当
时（
）
取最小值
。
这里
就是误差椭圆的长半轴，
就是误差椭圆的短半轴，
是长半轴的方位角。
1.14 置信椭圆
长半轴为
、短半轴为
的椭圆被称之为标准误差椭圆。置信椭圆是标准误差椭圆的
倍。
点落入置信椭圆内的概率为
将
代入上式可求出点落入标准误差椭圆内的概率为39.35%。也就是说置信度39.35%的置信椭圆就是标准误差椭圆。
1.15 误差椭球
在三维空间，点位沿着任意方向
的方差按下式计算：
上式中的
是随机变量
的方差、协方差矩阵。
注意方向
是单位向量，即满足
现在的问题是：
何时最大？何时最小？它的实质就是在满足
的条件下，求出
的极值。
可根据拉格朗日乘数法求极值，其步骤为：
构造拉格朗日函数
，然后求解如下方程组：
记
（即一个数对一个列向量求导），则
。根据上式可知
取极值时
。
满足
的
是矩阵
的特征值，而
是与
对应的特征向量。
表示需要将特征向量单位化。
求出矩阵
的特征值和特征向量后，矩阵
可被对角化，即：
上式中
是由特征值组成的对角阵，即
。
矩阵
的第
列是
对应的单位特征向量。此时：
记
，它的几何意义为：对向量
做正交变换，得到向量
，此时：
这里
就是误差椭球的三个半轴，从大到小依次为长半轴、中半轴、短半轴。这三个半轴的方向就是特征向量的方向，它们是相互垂直的。
以椭球的三个半轴分别为
轴建立一个新的三维直角坐标系
，坐标系
到
的正交变换矩阵就是
。
1.16 求解误差椭球
本节将求解矩阵
的特征值、特征向量
注意上式中：
展开后可以得到一个一元三次方程：
，其中
可以去除这个一元三次方程的二次项，如下式所示：
其中
一元三次方程的三个根为：
上式中
这三个根就是矩阵
的特征值。因为
是正定的，所以这三个特征值必定都是大于零的实数。
下面是矩阵
的伴随矩阵：
将
代入上式，每一列就是
对应的一个特征向量，请选用长度最大的特征向量并将其单位化。
注意：按上述方法求出的特征向量有可能为零，此时至少有两个特征值是相等的。换句话说就是上述求解特征向量的算法要求三个特征值均不相等。
1.17 置信椭球
三个半轴为
的椭球是标准误差椭球，置信椭圆是标准误差椭圆的
倍。
点落入置信椭球内的概率为
将
代入上式可求出点落入标准误差椭球内的概率为19.87%。也就是说置信度19.87%的置信椭球就是标准误差椭球。
