多边形的面积
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第1章多边形的面积
1.1 三角形面积
xy平面内，有三角形123，如下图所示：
图1.1
借助矢量叉积和点积，这个三角形的面积公式非常简单：
这个面积是有符号的：1、2、3逆时针排列，则面积为正；1、2、3顺时针排列，则面积为负。这是对右手系的总结，如果从背面看这个坐标系就成了左手系。在左手系下，面积的正负情况正好相反。所以，关于面积正负的准确说法应该是：1、2、3的排列顺序与方位角增加的方向一致，则面积为正；1、2、3的排列顺序与方位角增加的方向相反，则面积为负。
最后，上面的公式不够美观，来一个神来之笔：
1.2 多边形面积
假定某个多边形有n个顶点：1、2、3、……、n。现在任取一点C，它与n个顶点可以构成n个三角形：（C,1,2）、（C,2,3）、（C,3,4）、……、（C,n-1,n）、（C,n,1）。
现在把这些三角形的面积累积起来，就是多边形的面积了，即：
注意上面公式的最后一项为S（C,n,n+1）。顶点n+1超过了n，就转回去取值为1。
现在，把C点取为原点O，就可以得到多边形的面积公式如下：
上式中，
应该取为
。
多边形面积同样有正负，以下图为例。多边形有四个顶点1、2、3、4。23与14有交点P。
图1.2
面积1、2、P为正，面积3、4、P为负。两块面积相加，多边形的面积就是零了。所以使用
计算多边形面积时，各条边一定不要有交点。
1.3 递推公式
假定拿着手持GPS一边走一边显示面积，那么
这个公式就有点不太合适了。因为它每次都要计算n个顶点，随着顶点数n的增加其计算效率越来越低。此时，可以考虑使用递推公式。
假定
表示顶点1、2、3、……、n围成的多边形面积，给多边形增加一个顶点n+1后其面积变为
。则有：
可得多边形面积计算的递推公式如下：
上述递推公式要计算3个三角形的面积，为了简化计算，将C点取为1号顶点，则递推公式变为：
因为
均为零，因此上式可简化为
做为递推公式，初始值很重要：
最终的递推公式为：
1.4 精度评定
拿着手持GPS测量了一圈面积，其测量误差能有多少？1亩地的面积测量误差就达到了1亩，那这个测量就没有什么实际意义了。微分多边形面积公式
，可以得到
注意上式中的
请取为
；
请取为
。
根据误差传播率，可知：
假定顶点坐标的点位中误差为
，且
，则根据
可知
，代入上式，可得
两边开平方，可得多边形面积的精度
上式中的
只与多边形的图形结构有关，也就是说：面积精度与多边形的图形结构是有关系的。
假定多边形为正方形，且边长为
。则面积精度
，面积相对精度
。可见：测量的范围越大（即
越大）则面积精度越低，但面积的相对精度越高。
假定多边形为正
边形，且外接圆半径为
。则圆心角
，面积精度
，面积相对精度
。可见：测量的范围越大（即
越大）则面积精度越低，但面积的相对精度越高。测量点越密集（即
越大）则面积精度、面积相对精度越高。
结论：
1、面积精度与多边形的图形结构是有关系的；
2、测量的范围越大，面积精度越低，但面积的相对精度越高；
3、测量的顶点越密集，则面积精度和面积相对精度越高。
