CodeForces 280C Game on Tree

题意简述

一棵有 n 个节点的树，每次等概率随机选一个点，把这个点及其子树都染色，求把整棵树染色的期望次数。

解题报告

答案是 \(\sum \frac{1}{\mathrm{depth}(i)}\)。但是为什么呢？

在这里引入「随机变量指示器」：

给定样本空间 \(S\) 和事件 \(A\)，定义它的随机变量指示器 \(I\{A\}\) 满足：

\[I\{A\}=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { if A don't happen } \\ 1, \text { if A happen } \end{array}\right. \]

那么在这道题里，令 \(X_{i}\) 为事件 \(T_i\) 的随机变量指示器，其中 \(T_i\) 表示 \(i\) 这个节点被选中。

所以本题要求的染色次数即为选中的节点数：

\[X = \sum X_i \]

对两边取期望，

\(E(X) = E(\sum X_i) = \sum E(X_i)\)

因为 \(X_i\) 只有 \(0\) 和 \(1\) 两个取值，所以 \(E(X_i) = P(T_i) \times 1 + P(\overline{T_i}) \times 0 = P(T_i)\)

所以说 \(E(X) = \sum P(T_i).\)

那么接下来只需要知道每个点选中的概率就好了。

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考虑随机一个 \(1 \sim n\) 的排列作为操作序列，从前往后扫，遇到未染色的就染色，那么点 \(i\) 能被选中当且仅当它和它的祖先这些点里，它排在最前面，这个概率是 \(\frac{1}{\mathrm{dep}(i)}\)

所以答案即为 \(\sum \frac{1}{\mathrm{dep}(i)}.\)