Logic Puzzle Challenge 2

Divide $1048 (in whole $ increments) into a number of bags so that I can ask for any amount between $1 and $1048, and you can give me the proper amount by giving me a certain number of these bags without opening them. 

What is the minimum number of bags you will require?

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通过二叉树的方式做出来了

1048 = 524 + 524 

524   = 262 + 262

262   = 131 + 131

131   = 1 + 130 （这里应该算重点，为何要拆成1+x的形式。当时主要考虑到除以二是最快的分法，而且1是必要的原子，就分了）

130   = 65 + 65

65     = 5 + 60  (思路二：拆成最近的原子+偶数的形式，显然2+63不适合；而3+62的原子3太大，最好用1、2来凑，所以先写成5+60)

60     = 30 + 30

30     = 2 + 28 (为何不是15+15？考虑到快要到最小值了，可能拼出1、2最重要)

28     = 14 + 14

14     = 4 + 10   (最开始用的14 = 7 + 7，7 = 3+4，这样算出来的答案是12个，不对，然后回过去修改，发现4+10可以做到更少，就改了)

蓝色标注的就是最后的分法

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显然，这种题目应该有相应的数学模型，ACM接触不多，不太清楚。自己抽象一下：

条件：对任意的正整数n，拆成任意数和的形式，拆出来的数姑且称为原子。

要求：这些原子要能表示1-n 之间的任意整数，求原子的最小个数。

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形式化描述：

已知：a = a1 + a2 + ... + an

对任意的b,1<= b <= a,都能表示为a1-an中某几项和的形式

求n的最小值

要是有知道的同学，请赐教