Longge的问题(欧拉，思维)

 Longge的问题

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Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

Hint

 

【数据范围】
对于60%的数据，0<N<=2^16。
对于100%的数据，0<N<=2^32。

题解：题目让求∑gcd(i, N)(1<=i <=N)；很显然暴力是不行的，由于gcd(m,n)=k,所以gcd(m/k,n/k)=1;要求小于等于n的最大公约数是k的个数num[k]等于ouler[n/k];枚举k求k*num[k]的和即可；

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<map>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL ouler(LL n){
    LL ans=n;
    for(LL i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            ans=ans*(i-1)/i;
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    }
    if(n>1)ans=ans*(n-1)/n;
    return ans;
}
int main(){
    LL N;
    while(~scanf("%lld",&N)){
        LL ans=0;
        for(LL i=1;i*i<=N;i++){
             if(N%i==0){
                 ans+=ouler(N/i)*i;
                 if(N/i>sqrt(1.0*N))ans+=ouler(i)*(N/i);//这里ouler[N/N/i]=ouler[i]计算最大公约数是N/i的个数 
             }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}