编程之美第一篇 01分数规划
01分数规划
01分数规划问题其实就是解决单价之类的问题，假设给你n个物品，让你找出选k个物品的最大单价；例如南阳oj：Yougth的最大化；解决这类问题可以用二分查找，这类问题跟二分极大化最小值，极小化最大值有一些相似的地方，均是从结果出发，来进行二分查找；例如上面南阳那道题，可以转化一下；
由于v/w=单价；所以v=w*单价；即v-w*单价=0；有了这个关系，我们马上可以想到二分来查找这个值；
那么我们可以定义一个count数组来记录v-w*单价的值；由于选k个只需要把count从大到小排下序就可以了；然后就是二分了；这类问题就是01分数规划问题；
代码实现：
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define MAX(x,y) x>y?x:y
using namespace std;
const int MAXN=10010;
struct Node{int v,w;
};
Node res[MAXN];
double cont[MAXN];
int n,k;
int fun(double mid){
for(int i=0;i<n;i++){
cont[i]=res[i].v-mid*res[i].w;
}
sort(cont,cont+n);double sum=0;
for(int i=n-1;i>=n-k;i--)sum+=cont[i];
//printf("%lf\n",mid);
return sum>=0?1:0;
}
double abs(double x){
return x>0?x:-x;
}
double search(double max){
double left=0,right=max,mid;
while(right-left>1e-10){mid=(left+right)/2;
if(fun(mid))left=mid;
else right=mid;
}
return mid;
}
int main(){
while(~scanf("%d%d",&n,&k)){double max=0;
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d%d",&res[i].w,&res[i].v);
max=MAX(max,res[i].v*1.0/res[i].w);//
}
printf("%.2f\n",search(max));
}
return 0;
}
与这个题相似的还有poj Dropping tests；这个题意是：
给你n个数，让求删除k个数后
的最大值；
跟南阳那个题很相似，只需要找n-k个数即可；
代码实现：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MAXN=10010;
struct Node{
int a,b;
};
Node dt[MAXN];
double d[MAXN];
int n,k;
bool fsgh(double R){
double sum=0;
for(int i=0;i<n;i++)d[i]=dt[i].a-R*dt[i].b;
sort(d,d+n);
for(int i=n-1;i>=n-k;i--)sum+=d[i];
return sum>0?true:false;
}
double erfen(double l,double r){
double mid;
while(r-l>1e-6){
mid=(l+r)/2;
if(fsgh(mid))l=mid;
else r=mid;
}
return mid;
}
int main(){
while(scanf("%d%d",&n,&k),n|k){
double mx=0;
k=n-k;
for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&dt[i].a);
for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&dt[i].b),mx=max(1.0*dt[i].a/dt[i].b,mx);
printf("%.0f\n",erfen(0,mx)*100);
}
return 0;
}
另外01分数规划还可以与图论结合在一起；例如：
和最小生成树结合在一起让你求一棵最优比率生成树；例如 poj Desert King；
题意：有N个村庄，给出每个村庄的坐标和海拔,，benifit为两点之间的距离，cost为两点的高度差，现在要求一棵树使得 cost / benift 最小；
咋一看跟01分数规划还真像，但是让求的是一棵树，我们该怎么办？其实就是求一个最小生成树罢了，最小生成树里面的low数组代表的是啥？权值！那直接把low数组里面的值换成cost-benift*R就好了，然后就是一个二分问题了；
代码实现：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
const int MAXN=1010;
double vis[MAXN],low[MAXN];
int N;
double R;
struct Node{
double x,y,h;
};
Node dt[MAXN];
double len[MAXN][MAXN],cost[MAXN][MAXN];
double getl(Node a,Node b){
double x=b.x-a.x,y=b.y-a.y;
return sqrt(x*x+y*y);
}
bool prime(){
double total;
mem(vis,0);
for(int i=0;i<N;i++)low[i]=cost[0][i]-R*len[0][i];
total=0;
vis[0]=1;//
for(int i=0;i<N;i++){
double temp=INF;
int k;
for(int j=0;j<N;j++)
if(!vis[j]&&low[j]<temp)temp=low[j],k=j;
if(temp==INF)break;
total+=temp;
vis[k]=1;
for(int j=0;j<N;j++)
if(!vis[j]&&low[j]>cost[k][j]-R*len[k][j])low[j]=cost[k][j]-R*len[k][j];
}
//printf("total=%lf R=%lf\n",total,R);
if(total>0)return true;
else return false;
}
int main(){
while(scanf("%d",&N),N){
mem(len,INF);
mem(cost,INF);
double mxl=-INF,mil=INF,mxc=-INF,mic=INF;
for(int i=0;i<N;i++)
scanf("%lf%lf%lf",&dt[i].x,&dt[i].y,&dt[i].h);
for(int i=0;i<N;i++){
for(int j=i+1;j<N;j++){
len[j][i]=len[i][j]=getl(dt[i],dt[j]);
cost[j][i]=cost[i][j]=abs(dt[i].h-dt[j].h);
mxl=max(mxl,len[i][j]);
mxc=max(mxc,cost[i][j]);
mil=min(mil,len[i][j]);
mic=min(mic,cost[i][j]);
}
}
//printf("%lf %lf %lf %lf\n",mil,mic,mxl,mxc);
double l=mic/mxl,r=mxc/mil;
// printf("%lf %lf\n",l,r);
while(r-l>1e-4){
R=(l+r)/2;
if(prime())l=R;
else r=R;
}
printf("%.3f\n",l);
}
return 0;
}
另外01分数规划还可以与最短路结合在一起；求一个最优比率环；例如poj Sightseeing Cows;
题意：这个人带牛旅行，旅行每个城市会有幸福度，通过每个城市会花费时间，让找平均每秒的最大幸福度；
注意这题是让求最大的，好像我们前面讲的都是最小的，那该怎么办呐？很简单以前是hp-R*t;转成R*t-hp不就好了吗？照样转化成最短路问题；但是可能产生负边啊；对了就是负边，二分就是从负边出发的，有负边证明t太大，没有t小，这就是二分的一个条件；由于负边我们可以用bellman，或者邻接表解决；
代码实现：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;
const int INF=10000000000000;
typedef long long LL;
const int MAXN=1010;
const int MAXM=100010;
/*struct Node{
int u,v;
double t;
};
Node dt[MAXM];*/
struct Edge{
int from,to,next,t;
};
Edge edg[MAXM];
int head[MAXM];
int edgnum;
void add(int u,int v,int t){
Edge E={u,v,head[u],t};
edg[edgnum]=E;
head[u]=edgnum++;
}
int L,P;
double hp[MAXN],dis[MAXN];
int usd[MAXN],vis[MAXN];
/*void add(int u,int v,double t){
Node E={u,v,t};
dt[edgnum++]=E;
}*/
//double R;
/*bool Bellman(){
mem(dis,INF);
mem(usd,0);
dis[1]=0;
while(1){
int temp=0;
for(int j=0;j<edgnum;j++){
int u=dt[j].u,v=dt[j].v;
double t=dt[j].t;
//dis[v]=min(dis[v],dis[u]+R*t-hp[u]);//应该是R*t-hp[u];
if(dis[v]>dis[u]+R*t-hp[u])usd[v]++,dis[v]=dis[u]+R*t-hp[u],temp=1;
if(usd[v]>L)return false;
}
if(!temp)return true;
}
}*/
bool SPFA(double R){
queue<int>dl;
while(!dl.empty())dl.pop();
for(int i=1;i<=L;i++){
dis[i]=INF;
vis[i]=0;
usd[i]=0;
}
dl.push(1);
vis[1]=1;
usd[1]++;
dis[1]=0;
while(!dl.empty()){
int u=dl.front();
dl.pop();
vis[u]=0;
for(int i=head[u];i!=-1;i=edg[i].next){
int v=edg[i].to,t=edg[i].t;
if(dis[v]>dis[u]+R*t-hp[u]){
dis[v]=dis[u]+R*t-hp[u];
if(!vis[v]){
vis[v]=1;
usd[v]++;
dl.push(v);
// printf("%d\n",usd[v]);
if(usd[v]>=L)return false;
}
}
}
}
return true;
}
int main(){
int a,b;
int c;
while(~scanf("%d%d",&L,&P)){
edgnum=0;
double mih=INF,mxh=-INF;
int mit=INF,mxt=-INF;
mem(head,-1);
for(int i=1;i<=L;i++){
scanf("%lf",hp+i);
mih=min(mih,hp[i]);
mxh=max(mxh,hp[i]);
}
while(P--){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
add(a,b,c);
mit=min(mit,c);
mxt=max(mxt,c);
}
double l=mih/mxt,r=mxh/mit;
// printf("%f %f\n",l,r);
double R;
while(r-l>=0.001){
R=(l+r)/2;
if(SPFA(R))r=R;
else l=R;
}
printf("%.2f\n",l);
}
return 0;
}
01分数规划是一个基本而且有用的算法，可以与图论连用，也可以与数据结构一起用；
上面提到的题解详情请见：
http://www.cnblogs.com/handsomecui/p/4690691.html
http://www.cnblogs.com/handsomecui/p/4971467.html
http://www.cnblogs.com/handsomecui/p/4972701.html
http://www.cnblogs.com/handsomecui/p/4973041.html
转载请附上地址：
