数据结构---线段树

线段树

 

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持续更新中···

 

一：线段树基本概念

1：概述

线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(lgN)!

性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍

 

2：基本操作（demo用的是查询区间最小值）

线段树的主要操作有：

(1)：线段树的构造 void build(int node, int begin, int end);

主要思想是递归构造，如果当前节点记录的区间只有一个值，则直接赋值，否则递归构造左右子树，最后回溯的时候给当前节点赋值

 

  1. #include <iostream>  
  2. using namespace std;  
  3.   
  4. const int maxind = 256;  
  5. int segTree[maxind * 4 + 10];  
  6. int array[maxind];   
  7. /* 构造函数，得到线段树 */  
  8. void build(int node, int begin, int end)    
  9. {    
  10.     if (begin == end)    
  11.         segTree[node] = array[begin]; /* 只有一个元素,节点记录该单元素 */  
  12.     else    
  13.     {     
  14.         /* 递归构造左右子树 */   
  15.         build(2*node, begin, (begin+end)/2);    
  16.         build(2*node+1, (begin+end)/2+1, end);   
  17.            
  18.         /* 回溯时得到当前node节点的线段信息 */    
  19.         if (segTree[2 * node] <= segTree[2 * node + 1])    
  20.             segTree[node] = segTree[2 * node];    
  21.         else    
  22.             segTree[node] = segTree[2 * node + 1];    
  23.     }    
  24. }  
  25.   
  26. int main()  
  27. {  
  28.     array[0] = 1, array[1] = 2,array[2] = 2, array[3] = 4, array[4] = 1, array[5] = 3;  
  29.     build(1, 0, 5);  
  30.     for(int i = 1; i<=20; ++i)  
  31.      cout<< "seg"<< i << "=" <<segTree[i] <<endl;  
  32.     return 0;  
  33. }   

 此build构造成的树如图：

 

 

(2)：区间查询int query(int node, int begin, int end, int left, int right);

（其中node为当前查询节点，begin,end为当前节点存储的区间，left,right为此次query所要查询的区间）

主要思想是把所要查询的区间[a,b]划分为线段树上的节点，然后将这些节点代表的区间合并起来得到所需信息

比如前面一个图中所示的树，如果询问区间是[0,2]，或者询问的区间是[3,3]，不难直接找到对应的节点回答这一问题。但并不是所有的提问都这么容易回答，比如[0,3]，就没有哪一个节点记录了这个区间的最小值。当然，解决方法也不难找到：把[0,2]和[3,3]两个区间（它们在整数意义上是相连的两个区间）的最小值“合并”起来，也就是求这两个最小值的最小值，就能求出[0,3]范围的最小值。同理，对于其他询问的区间，也都可以找到若干个相连的区间，合并后可以得到询问的区间。

 

  1. int query(int node, int begin, int end, int left, int right)    
  2. {   
  3.     int p1, p2;    
  4.     
  5.     /*  查询区间和要求的区间没有交集  */  
  6.     if (left > end || right < begin)    
  7.         return -1;    
  8.     
  9.     /*  if the current interval is included in  */    
  10.     /*  the query interval return segTree[node]  */  
  11.     if (begin >= left && end <= right)    
  12.         return segTree[node];    
  13.     
  14.     /*  compute the minimum position in the  */  
  15.     /*  left and right part of the interval  */   
  16.     p1 = query(2 * node, begin, (begin + end) / 2, left, right);   
  17.     p2 = query(2 * node + 1, (begin + end) / 2 + 1, end, left, right);    
  18.     
  19.     /*  return the expect value  */   
  20.     if (p1 == -1)    
  21.         return p2;    
  22.     if (p2 == -1)    
  23.         return p1;    
  24.     if (p1 <= p2)    
  25.         return  p1;    
  26.     return  p2;      
  27. }   

可见，这样的过程一定选出了尽量少的区间，它们相连后正好涵盖了整个[left,right]，没有重复也没有遗漏。同时，考虑到线段树上每层的节点最多会被选取2个，一共选取的节点数也是O(log n)的，因此查询的时间复杂度也是O(log n)。

线段树并不适合所有区间查询情况，它的使用条件是“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”。即问题是可以被分解解决的。

 

 

(3)：区间或节点的更新 及 线段树的动态维护update （这是线段树核心价值所在，节点中的标记域可以解决N多种问题）

动态维护需要用到标记域，延迟标记等。

a:单节点更新

  1. void Updata(int node, int begin, int end, int ind, int add)/*单节点更新*/    
  2. {    
  3.     
  4.     if( begin == end )    
  5.     {    
  6.         segTree[node] += add;    
  7.         return ;    
  8.     }    
  9.     int m = ( left + right ) >> 1;    
  10.     if(ind <= m)    
  11.         Updata(node * 2,left, m, ind, add);    
  12.     else    
  13.         Updata(node * 2 + 1, m + 1, right, ind, add);    
  14.     /*回溯更新父节点*/    
  15.     segTree[node] = min(segTree[node * 2], segTree[node * 2 + 1]);     
  16.          
  17. }   

b：区间更新（线段树中最有用的）

需要用到延迟标记，每个结点新增加一个标记，记录这个结点是否被进行了某种修改操作(这种修改操作会影响其子结点)。对于任意区间的修改，我们先按照查询的方式将其划分成线段树中的结点，然后修改这些结点的信息，并给这些结点标上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个结点p，并且决定考虑其子结点，那么我们就要看看结点p有没有标记，如果有，就要按照标记修改其子结点的信息，并且给子结点都标上相同的标记，同时消掉p的标记。（优点在于，不用将区间内的所有值都暴力更新，大大提高效率，因此区间更新是最优用的操作）

void Change来自dongxicheng.org

 

  1. void Change(node *p, int a, int b) /* 当前考察结点为p，修改区间为(a,b]*/  
  2.    
  3. {  
  4.    
  5.   if (a <= p->Left && p->Right <= b)  
  6.    
  7.   /* 如果当前结点的区间包含在修改区间内*/  
  8.    
  9.   {  
  10.    
  11.      ...... /* 修改当前结点的信息，并标上标记*/  
  12.    
  13.      return;  
  14.    
  15.   }  
  16.    
  17.   Push_Down(p); /* 把当前结点的标记向下传递*/  
  18.    
  19.   int mid = (p->Left + p->Right) / 2; /* 计算左右子结点的分隔点 
  20.   
  21.   if (a < mid) Change(p->Lch, a, b); /* 和左孩子有交集，考察左子结点*/  
  22.    
  23.   if (b > mid) Change(p->Rch, a, b); /* 和右孩子有交集，考察右子结点*/  
  24.    
  25.   Update(p); /* 维护当前结点的信息（因为其子结点的信息可能有更改）*/  
  26.    
  27. }  



 

 

3:主要应用

 

(1)：区间最值查询问题 （见模板1）

(2)：连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （见模板2）

(3)：多维空间的动态查询 （见模板3）

 

二：典型模板

模板1：

RMQ，查询区间最值下标---min

 

  1. #include<iostream>    
  2.   
  3. using namespace std;    
  4.     
  5. #define MAXN 100    
  6. #define MAXIND 256 //线段树节点个数    
  7.     
  8. //构建线段树,目的:得到M数组.    
  9. void build(int node, int b, int e, int M[], int A[])    
  10. {    
  11.     if (b == e)    
  12.         M[node] = b; //只有一个元素,只有一个下标    
  13.     else    
  14.     {     
  15.         build(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A);    
  16.         build(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A);    
  17.   
  18.         if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])    
  19.             M[node] = M[2 * node];    
  20.         else    
  21.             M[node] = M[2 * node + 1];    
  22.     }    
  23. }    
  24.     
  25. //找出区间 [i, j] 上的最小值的索引    
  26. int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j)    
  27. {    
  28.     int p1, p2;    
  29.     
  30.     //查询区间和要求的区间没有交集    
  31.     if (i > e || j < b)    
  32.         return -1;    
  33.   
  34.     if (b >= i && e <= j)    
  35.         return M[node];    
  36.    
  37.     p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);    
  38.     p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);    
  39.     
  40.     //return the position where the overall    
  41.     //minimum is    
  42.     if (p1 == -1)    
  43.         return M[node] = p2;    
  44.     if (p2 == -1)    
  45.         return M[node] = p1;    
  46.     if (A[p1] <= A[p2])    
  47.         return M[node] = p1;    
  48.     return M[node] = p2;    
  49.     
  50. }    
  51.     
  52.     
  53. int main()    
  54. {    
  55.     int M[MAXIND]; //下标1起才有意义,否则不是二叉树,保存下标编号节点对应区间最小值的下标.    
  56.     memset(M,-1,sizeof(M));    
  57.     int a[]={3,4,5,7,2,1,0,3,4,5};    
  58.     build(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a);    
  59.     cout<<query(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<<endl;    
  60.     return 0;    
  61. }    



 

模板2：

 

连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （此模板查询区间和）

 

  1. #include <cstdio>    
  2. #include <algorithm>    
  3. using namespace std;    
  4.      
  5. #define lson l , m , rt << 1    
  6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1   
  7. #define root 1 , N , 1   
  8. #define LL long long    
  9. const int maxn = 111111;    
  10. LL add[maxn<<2];    
  11. LL sum[maxn<<2];    
  12. void PushUp(int rt) {    
  13.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];    
  14. }    
  15. void PushDown(int rt,int m) {    
  16.     if (add[rt]) {    
  17.         add[rt<<1] += add[rt];    
  18.         add[rt<<1|1] += add[rt];    
  19.         sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));    
  20.         sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);    
  21.         add[rt] = 0;    
  22.     }    
  23. }    
  24. void build(int l,int r,int rt) {    
  25.     add[rt] = 0;    
  26.     if (l == r) {    
  27.         scanf("%lld",&sum[rt]);    
  28.         return ;    
  29.     }    
  30.     int m = (l + r) >> 1;    
  31.     build(lson);    
  32.     build(rson);    
  33.     PushUp(rt);    
  34. }    
  35. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {    
  36.     if (L <= l && r <= R) {    
  37.         add[rt] += c;    
  38.         sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);    
  39.         return ;    
  40.     }    
  41.     PushDown(rt , r - l + 1);    
  42.     int m = (l + r) >> 1;    
  43.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);    
  44.     if (m < R) update(L , R , c , rson);    
  45.     PushUp(rt);    
  46. }    
  47. LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {    
  48.     if (L <= l && r <= R) {    
  49.         return sum[rt];    
  50.     }    
  51.     PushDown(rt , r - l + 1);    
  52.     int m = (l + r) >> 1;    
  53.     LL ret = 0;    
  54.     if (L <= m) ret += query(L , R , lson);    
  55.     if (m < R) ret += query(L , R , rson);    
  56.     return ret;    
  57. }    
  58. int main() {    
  59.     int N , Q;    
  60.     scanf("%d%d",&N,&Q);    
  61.     build(root);    
  62.     while (Q --) {    
  63.         char op[2];    
  64.         int a , b , c;    
  65.         scanf("%s",op);    
  66.         if (op[0] == 'Q') {    
  67.             scanf("%d%d",&a,&b);    
  68.             printf("%lld\n",query(a , b ,root));    
  69.         } else {    
  70.             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);    
  71.             update(a , b , c , root);    
  72.         }    
  73.     }    
  74.     return 0;    
  75. }    



 

模板3：

多维空间的动态查询

 

 

三：练习题目

下面是hh线段树代码，典型练习哇~

 

在代码前先介绍一些我的线段树风格:

  • maxn是题目给的最大区间,而节点数要开4倍,确切的来说节点数要开大于maxn的最小2x的两倍
  • lson和rson分辨表示结点的左儿子和右儿子,由于每次传参数的时候都固定是这几个变量,所以可以用预定于比较方便的表示
  • 以前的写法是另外开两个个数组记录每个结点所表示的区间,其实这个区间不必保存,一边算一边传下去就行,只需要写函数的时候多两个参数,结合lson和rson的预定义可以很方便
  • PushUP(int rt)是把当前结点的信息更新到父结点
  • PushDown(int rt)是把当前结点的信息更新给儿子结点
  • rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

整理这些题目后我觉得线段树的题目整体上可以分成以下四个部分:

 

 

单点更新:最最基础的线段树,只更新叶子节点,然后把信息用PushUP(int r)这个函数更新上来

 

  • hdu1166 敌兵布阵
  • 题意:O(-1)
  • 思路:O(-1) 线段树功能:update:单点增减 query:区间求和

code:

  1. #include<cstring>  
  2. #include<iostream>  
  3.   
  4. #define M 50005  
  5. #define lson l,m,rt<<1  
  6. #define rson m+1,r,rt<<1|1  
  7. /*left,right,root,middle*/  
  8.   
  9. int sum[M<<2];  
  10.   
  11. inline void PushPlus(int rt)  
  12. {  
  13.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
  14. }  
  15.   
  16. void Build(int l, int r, int rt)  
  17. {  
  18.     if(l == r)  
  19.     {  
  20.         scanf("%d", &sum[rt]);  
  21.         return ;  
  22.     }  
  23.     int m = ( l + r )>>1;  
  24.   
  25.     Build(lson);  
  26.     Build(rson);  
  27.     PushPlus(rt);  
  28. }  
  29.   
  30. void Updata(int p, int add, int l, int r, int rt)  
  31. {  
  32.   
  33.     if( l == r )  
  34.     {  
  35.         sum[rt] += add;  
  36.         return ;  
  37.     }  
  38.     int m = ( l + r ) >> 1;  
  39.     if(p <= m)  
  40.         Updata(p, add, lson);  
  41.     else  
  42.         Updata(p, add, rson);  
  43.   
  44.     PushPlus(rt);  
  45. }  
  46.   
  47. int Query(int L,int R,int l,int r,int rt)  
  48. {  
  49.     if( L <= l && r <= R )  
  50.     {  
  51.         return sum[rt];  
  52.     }  
  53.     int m = ( l + r ) >> 1;  
  54.     int ans=0;  
  55.     if(L<=m )  
  56.         ans+=Query(L,R,lson);  
  57.     if(R>m)  
  58.         ans+=Query(L,R,rson);  
  59.   
  60.     return ans;  
  61. }  
  62. int main()  
  63. {     
  64.     int T, n, a, b;  
  65.     scanf("%d",&T);  
  66.     for( int i = 1; i <= T; ++i )  
  67.     {  
  68.         printf("Case %d:\n",i);  
  69.         scanf("%d",&n);  
  70.         Build(1,n,1);  
  71.   
  72.         char op[10];  
  73.   
  74.         while( scanf("%s",op) &&op[0]!='E' )  
  75.         {  
  76.   
  77.             scanf("%d %d", &a, &b);  
  78.             if(op[0] == 'Q')  
  79.                 printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1));  
  80.             else if(op[0] == 'S')  
  81.                 Updata(a,-b,1,n,1);  
  82.             else  
  83.                 Updata(a,b,1,n,1);  
  84.   
  85.         }  
  86.     }  
  87.     return 0;  
  88. }  

hdu1754 I Hate It 题意:O(-1) 思路:O(-1) 线段树功能:update:单点替换 query:区间最值

  1. #include <cstdio>  
  2. #include <algorithm>  
  3. using namespace std;  
  4.    
  5. #define lson l , m , rt << 1  
  6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  7. const int maxn = 222222;  
  8. int MAX[maxn<<2];  
  9. void PushUP(int rt) {  
  10.     MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);  
  11. }  
  12. void build(int l,int r,int rt) {  
  13.     if (l == r) {  
  14.         scanf("%d",&MAX[rt]);  
  15.         return ;  
  16.     }  
  17.     int m = (l + r) >> 1;  
  18.     build(lson);  
  19.     build(rson);  
  20.     PushUP(rt);  
  21. }  
  22. void update(int p,int sc,int l,int r,int rt) {  
  23.     if (l == r) {  
  24.         MAX[rt] = sc;  
  25.         return ;  
  26.     }  
  27.     int m = (l + r) >> 1;  
  28.     if (p <= m) update(p , sc , lson);  
  29.     else update(p , sc , rson);  
  30.     PushUP(rt);  
  31. }  
  32. int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {  
  33.     if (L <= l && r <= R) {  
  34.         return MAX[rt];  
  35.     }  
  36.     int m = (l + r) >> 1;  
  37.     int ret = 0;  
  38.     if (L <= m) ret = max(ret , query(L , R , lson));  
  39.     if (R > m) ret = max(ret , query(L , R , rson));  
  40.     return ret;  
  41. }  
  42. int main() {  
  43.     int n , m;  
  44.     while (~scanf("%d%d",&n,&m)) {  
  45.         build(1 , n , 1);  
  46.         while (m --) {  
  47.             char op[2];  
  48.             int a , b;  
  49.             scanf("%s%d%d",op,&a,&b);  
  50.             if (op[0] == 'Q') printf("%d\n",query(a , b , 1 , n , 1));  
  51.             else update(a , b , 1 , n , 1);  
  52.         }  
  53.     }  
  54.     return 0;  
  55. }  
hdu1394 Minimum Inversion Number
题意:求Inversion后的最小逆序数
思路:用O(nlogn)复杂度求出最初逆序数后,就可以用O(1)的复杂度分别递推出其他解
线段树功能:update:单点增减 query:区间求和
  1. #include <cstdio>  
  2. #include <algorithm>  
  3. using namespace std;  
  4.    
  5. #define lson l , m , rt << 1  
  6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  7. const int maxn = 5555;  
  8. int sum[maxn<<2];  
  9. void PushUP(int rt) {  
  10.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
  11. }  
  12. void build(int l,int r,int rt) {  
  13.     sum[rt] = 0;  
  14.     if (l == r) return ;  
  15.     int m = (l + r) >> 1;  
  16.     build(lson);  
  17.     build(rson);  
  18. }  
  19. void update(int p,int l,int r,int rt) {  
  20.     if (l == r) {  
  21.         sum[rt] ++;  
  22.         return ;  
  23.     }  
  24.     int m = (l + r) >> 1;  
  25.     if (p <= m) update(p , lson);  
  26.     else update(p , rson);  
  27.     PushUP(rt);  
  28. }  
  29. int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {  
  30.     if (L <= l && r <= R) {  
  31.         return sum[rt];  
  32.     }  
  33.     int m = (l + r) >> 1;  
  34.     int ret = 0;  
  35.     if (L <= m) ret += query(L , R , lson);  
  36.     if (R > m) ret += query(L , R , rson);  
  37.     return ret;  
  38. }  
  39. int x[maxn];  
  40. int main() {  
  41.     int n;  
  42.     while (~scanf("%d",&n)) {  
  43.         build(0 , n - 1 , 1);  
  44.         int sum = 0;  
  45.         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
  46.             scanf("%d",&x[i]);  
  47.             sum += query(x[i] , n - 1 , 0 , n - 1 , 1);  
  48.             update(x[i] , 0 , n - 1 , 1);  
  49.         }  
  50.         int ret = sum;  
  51.         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
  52.             sum += n - x[i] - x[i] - 1;  
  53.             ret = min(ret , sum);  
  54.         }  
  55.         printf("%d\n",ret);  
  56.     }  
  57.     return 0;  
  58. }  
hdu2795 Billboard
题意:h*w的木板,放进一些1*L的物品,求每次放空间能容纳且最上边的位子
思路:每次找到最大值的位子,然后减去L
线段树功能:query:区间求最大值的位子(直接把update的操作在query里做了)
  1. #include <cstdio>  
  2. #include <algorithm>  
  3. using namespace std;  
  4.    
  5. #define lson l , m , rt << 1  
  6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  7. const int maxn = 222222;  
  8. int h , w , n;  
  9. int MAX[maxn<<2];  
  10. void PushUP(int rt) {  
  11.     MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);  
  12. }  
  13. void build(int l,int r,int rt) {  
  14.     MAX[rt] = w;  
  15.     if (l == r) return ;  
  16.     int m = (l + r) >> 1;  
  17.     build(lson);  
  18.     build(rson);  
  19. }  
  20. int query(int x,int l,int r,int rt) {  
  21.     if (l == r) {  
  22.         MAX[rt] -= x;  
  23.         return l;  
  24.     }  
  25.     int m = (l + r) >> 1;  
  26.     int ret = (MAX[rt<<1] >= x) ? query(x , lson) : query(x , rson);  
  27.     PushUP(rt);  
  28.     return ret;  
  29. }  
  30. int main() {  
  31.     while (~scanf("%d%d%d",&h,&w,&n)) {  
  32.         if (h > n) h = n;  
  33.         build(1 , h , 1);  
  34.         while (n --) {  
  35.             int x;  
  36.             scanf("%d",&x);  
  37.             if (MAX[1] < x) puts("-1");  
  38.             else printf("%d\n",query(x , 1 , h , 1));  
  39.         }  
  40.     }  
  41.     return 0;  
  42. }  

成段更新(通常这对初学者来说是一道坎),需要用到延迟标记(或者说懒惰标记),简单来说就是每次更新的时候不要更新到底,用延迟标记使得更新延迟到下次需要更新or询问到的时候

hdu1698 Just a Hook
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:成段替换 (由于只query一次总区间,所以可以直接输出1结点的信息)
  1. #include <cstdio>  
  2. #include <algorithm>  
  3. using namespace std;  
  4.    
  5. #define lson l , m , rt << 1  
  6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  7. const int maxn = 111111;  
  8. int h , w , n;  
  9. int col[maxn<<2];  
  10. int sum[maxn<<2];  
  11. void PushUp(int rt) {  
  12.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
  13. }  
  14. void PushDown(int rt,int m) {  
  15.     if (col[rt]) {  
  16.         col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];  
  17.         sum[rt<<1] = (m - (m >> 1)) * col[rt];  
  18.         sum[rt<<1|1] = (m >> 1) * col[rt];  
  19.         col[rt] = 0;  
  20.     }  
  21. }  
  22. void build(int l,int r,int rt) {  
  23.     col[rt] = 0;  
  24.     sum[rt] = 1;  
  25.     if (l == r) return ;  
  26.     int m = (l + r) >> 1;  
  27.     build(lson);  
  28.     build(rson);  
  29.     PushUp(rt);  
  30. }  
  31. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
  32.     if (L <= l && r <= R) {  
  33.         col[rt] = c;  
  34.         sum[rt] = c * (r - l + 1);  
  35.         return ;  
  36.     }  
  37.     PushDown(rt , r - l + 1);  
  38.     int m = (l + r) >> 1;  
  39.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
  40.     if (R > m) update(L , R , c , rson);  
  41.     PushUp(rt);  
  42. }  
  43. int main() {  
  44.     int T , n , m;  
  45.     scanf("%d",&T);  
  46.     for (int cas = 1 ; cas <= T ; cas ++) {  
  47.         scanf("%d%d",&n,&m);  
  48.         build(1 , n , 1);  
  49.         while (m --) {  
  50.             int a , b , c;  
  51.             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);  
  52.             update(a , b , c , 1 , n , 1);  
  53.         }  
  54.         printf("Case %d: The total value of the hook is %d.\n",cas , sum[1]);  
  55.     }  
  56.     return 0;  
  57. }  
poj3468 A Simple Problem with Integers
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:成段增减 query:区间求和
  1. #include <cstdio>  
  2. #include <algorithm>  
  3. using namespace std;  
  4.    
  5. #define lson l , m , rt << 1  
  6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  7. #define LL long long  
  8. const int maxn = 111111;  
  9. LL add[maxn<<2];  
  10. LL sum[maxn<<2];  
  11. void PushUp(int rt) {  
  12.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
  13. }  
  14. void PushDown(int rt,int m) {  
  15.     if (add[rt]) {  
  16.         add[rt<<1] += add[rt];  
  17.         add[rt<<1|1] += add[rt];  
  18.         sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));  
  19.         sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);  
  20.         add[rt] = 0;  
  21.     }  
  22. }  
  23. void build(int l,int r,int rt) {  
  24.     add[rt] = 0;  
  25.     if (l == r) {  
  26.         scanf("%lld",&sum[rt]);  
  27.         return ;  
  28.     }  
  29.     int m = (l + r) >> 1;  
  30.     build(lson);  
  31.     build(rson);  
  32.     PushUp(rt);  
  33. }  
  34. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
  35.     if (L <= l && r <= R) {  
  36.         add[rt] += c;  
  37.         sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);  
  38.         return ;  
  39.     }  
  40.     PushDown(rt , r - l + 1);  
  41.     int m = (l + r) >> 1;  
  42.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
  43.     if (m < R) update(L , R , c , rson);  
  44.     PushUp(rt);  
  45. }  
  46. LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {  
  47.     if (L <= l && r <= R) {  
  48.         return sum[rt];  
  49.     }  
  50.     PushDown(rt , r - l + 1);  
  51.     int m = (l + r) >> 1;  
  52.     LL ret = 0;  
  53.     if (L <= m) ret += query(L , R , lson);  
  54.     if (m < R) ret += query(L , R , rson);  
  55.     return ret;  
  56. }  
  57. int main() {  
  58.     int N , Q;  
  59.     scanf("%d%d",&N,&Q);  
  60.     build(1 , N , 1);  
  61.     while (Q --) {  
  62.         char op[2];  
  63.         int a , b , c;  
  64.         scanf("%s",op);  
  65.         if (op[0] == 'Q') {  
  66.             scanf("%d%d",&a,&b);  
  67.             printf("%lld\n",query(a , b , 1 , N , 1));  
  68.         } else {  
  69.             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);  
  70.             update(a , b , c , 1 , N , 1);  
  71.         }  
  72.     }  
  73.     return 0;  
  74. }  
poj2528 Mayor’s posters
题意:在墙上贴海报,海报可以互相覆盖,问最后可以看见几张海报
思路:这题数据范围很大,直接搞超时+超内存,需要离散化:
离散化简单的来说就是只取我们需要的值来用,比如说区间[1000,2000],[1990,2012] 我们用不到[-∞,999][1001,1989][1991,1999][2001,2011][2013,+∞]这些值,所以我只需要1000,1990,2000,2012就够了,将其分别映射到0,1,2,3,在于复杂度就大大的降下来了
所以离散化要保存所有需要用到的值,排序后,分别映射到1~n,这样复杂度就会小很多很多
而这题的难点在于每个数字其实表示的是一个单位长度(并非一个点),这样普通的离散化会造成许多错误(包括我以前的代码,poj这题数据奇弱)
给出下面两个简单的例子应该能体现普通离散化的缺陷:
例子一:1-10 1-4 5-10
例子二:1-10 1-4 6-10
普通离散化后都变成了[1,4][1,2][3,4]
线段2覆盖了[1,2],线段3覆盖了[3,4],那么线段1是否被完全覆盖掉了呢?
例子一是完全被覆盖掉了,而例子二没有被覆盖

 

为了解决这种缺陷,我们可以在排序后的数组上加些处理,比如说[1,2,6,10] 如果相邻数字间距大于1的话,在其中加上任意一个数字,比如加成[1,2,3,6,7,10],然后再做线段树就好了. 线段树功能:update:成段替换 query:简单hash

  1. #include <cstdio>  
  2. #include <cstring>  
  3. #include <algorithm>  
  4. using namespace std;  
  5. #define lson l , m , rt << 1  
  6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  7.    
  8. const int maxn = 11111;  
  9. bool hash[maxn];  
  10. int li[maxn] , ri[maxn];  
  11. int X[maxn*3];  
  12. int col[maxn<<4];  
  13. int cnt;  
  14.    
  15. void PushDown(int rt) {  
  16.     if (col[rt] != -1) {  
  17.         col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];  
  18.         col[rt] = -1;  
  19.     }  
  20. }  
  21. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
  22.     if (L <= l && r <= R) {  
  23.         col[rt] = c;  
  24.         return ;  
  25.     }  
  26.     PushDown(rt);  
  27.     int m = (l + r) >> 1;  
  28.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
  29.     if (m < R) update(L , R , c , rson);  
  30. }  
  31. void query(int l,int r,int rt) {  
  32.     if (col[rt] != -1) {  
  33.         if (!hash[col[rt]]) cnt ++;  
  34.         hash[ col[rt] ] = true;  
  35.         return ;  
  36.     }  
  37.     if (l == r) return ;  
  38.     int m = (l + r) >> 1;  
  39.     query(lson);  
  40.     query(rson);  
  41. }  
  42. int Bin(int key,int n,int X[]) {  
  43.     int l = 0 , r = n - 1;  
  44.     while (l <= r) {  
  45.         int m = (l + r) >> 1;  
  46.         if (X[m] == key) return m;  
  47.         if (X[m] < key) l = m + 1;  
  48.         else r = m - 1;  
  49.     }  
  50.     return -1;  
  51. }  
  52. int main() {  
  53.     int T , n;  
  54.     scanf("%d",&T);  
  55.     while (T --) {  
  56.         scanf("%d",&n);  
  57.         int nn = 0;  
  58.         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
  59.             scanf("%d%d",&li[i] , &ri[i]);  
  60.             X[nn++] = li[i];  
  61.             X[nn++] = ri[i];  
  62.         }  
  63.         sort(X , X + nn);  
  64.         int m = 1;  
  65.         for (int i = 1 ; i < nn; i ++) {  
  66.             if (X[i] != X[i-1]) X[m ++] = X[i];  
  67.         }  
  68.         for (int i = m - 1 ; i > 0 ; i --) {  
  69.             if (X[i] != X[i-1] + 1) X[m ++] = X[i-1] + 1;  
  70.         }  
  71.         sort(X , X + m);  
  72.         memset(col , -1 , sizeof(col));  
  73.         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
  74.             int l = Bin(li[i] , m , X);  
  75.             int r = Bin(ri[i] , m , X);  
  76.             update(l , r , i , 0 , m , 1);  
  77.         }  
  78.         cnt = 0;  
  79.         memset(hash , false , sizeof(hash));  
  80.         query(0 , m , 1);  
  81.         printf("%d\n",cnt);  
  82.     }  
  83.     return 0;  
  84. }  
poj3225 Help with Intervals
题意:区间操作,交,并,补等
思路:
我们一个一个操作来分析:(用0和1表示是否包含区间,-1表示该区间内既有包含又有不包含)
U:把区间[l,r]覆盖成1
I:把[-∞,l)(r,∞]覆盖成0
D:把区间[l,r]覆盖成0
C:把[-∞,l)(r,∞]覆盖成0 , 且[l,r]区间0/1互换
S:[l,r]区间0/1互换

 

成段覆盖的操作很简单,比较特殊的就是区间0/1互换这个操作,我们可以称之为异或操作 很明显我们可以知道这个性质:当一个区间被覆盖后,不管之前有没有异或标记都没有意义了 所以当一个节点得到覆盖标记时把异或标记清空 而当一个节点得到异或标记的时候,先判断覆盖标记,如果是0或1,直接改变一下覆盖标记,不然的话改变异或标记

开区间闭区间只要数字乘以2就可以处理(偶数表示端点,奇数表示两端点间的区间) 线段树功能:update:成段替换,区间异或 query:简单hash

  1. #include <cstdio>  
  2. #include <cstring>  
  3. #include <cctype>  
  4. #include <algorithm>  
  5. using namespace std;  
  6. #define lson l , m , rt << 1  
  7. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  8.    
  9. const int maxn = 131072;  
  10. bool hash[maxn+1];  
  11. int cover[maxn<<2];  
  12. int XOR[maxn<<2];  
  13. void FXOR(int rt) {  
  14.     if (cover[rt] != -1) cover[rt] ^= 1;  
  15.     else XOR[rt] ^= 1;  
  16. }  
  17. void PushDown(int rt) {  
  18.     if (cover[rt] != -1) {  
  19.         cover[rt<<1] = cover[rt<<1|1] = cover[rt];  
  20.         XOR[rt<<1] = XOR[rt<<1|1] = 0;  
  21.         cover[rt] = -1;  
  22.     }  
  23.     if (XOR[rt]) {  
  24.         FXOR(rt<<1);  
  25.         FXOR(rt<<1|1);  
  26.         XOR[rt] = 0;  
  27.     }  
  28. }  
  29. void update(char op,int L,int R,int l,int r,int rt) {  
  30.     if (L <= l && r <= R) {  
  31.         if (op == 'U') {  
  32.             cover[rt] = 1;  
  33.             XOR[rt] = 0;  
  34.         } else if (op == 'D') {  
  35.             cover[rt] = 0;  
  36.             XOR[rt] = 0;  
  37.         } else if (op == 'C' || op == 'S') {  
  38.             FXOR(rt);  
  39.         }  
  40.         return ;  
  41.     }  
  42.     PushDown(rt);  
  43.     int m = (l + r) >> 1;  
  44.     if (L <= m) update(op , L , R , lson);  
  45.     else if (op == 'I' || op == 'C') {  
  46.         XOR[rt<<1] = cover[rt<<1] = 0;  
  47.     }  
  48.     if (m < R) update(op , L , R , rson);  
  49.     else if (op == 'I' || op == 'C') {  
  50.         XOR[rt<<1|1] = cover[rt<<1|1] = 0;  
  51.     }  
  52. }  
  53. void query(int l,int r,int rt) {  
  54.     if (cover[rt] == 1) {  
  55.         for (int it = l ; it <= r ; it ++) {  
  56.             hash[it] = true;  
  57.         }  
  58.         return ;  
  59.     } else if (cover[rt] == 0) return ;  
  60.     if (l == r) return ;  
  61.     PushDown(rt);  
  62.     int m = (l + r) >> 1;  
  63.     query(lson);  
  64.     query(rson);  
  65. }  
  66. int main() {  
  67.     cover[1] = XOR[1] = 0;  
  68.     char op , l , r;  
  69.     int a , b;  
  70.     while ( ~scanf("%c %c%d,%d%c\n",&op , &l , &a , &b , &r) ) {  
  71.         a <<= 1 , b <<= 1;  
  72.         if (l == '(') a ++;  
  73.         if (r == ')') b --;  
  74.         if (a > b) {  
  75.             if (op == 'C' || op == 'I') {  
  76.                 cover[1] = XOR[1] = 0;  
  77.             }  
  78.         } else update(op , a , b , 0 , maxn , 1);  
  79.     }  
  80.     query(0 , maxn , 1);  
  81.     bool flag = false;  
  82.     int s = -1 , e;  
  83.     for (int i = 0 ; i <= maxn ; i ++) {  
  84.         if (hash[i]) {  
  85.             if (s == -1) s = i;  
  86.             e = i;  
  87.         } else {  
  88.             if (s != -1) {  
  89.                 if (flag) printf(" ");  
  90.                 flag = true;  
  91.                 printf("%c%d,%d%c",s&1?'(':'[' , s>>1 , (e+1)>>1 , e&1?')':']');  
  92.                 s = -1;  
  93.             }  
  94.         }  
  95.     }  
  96.     if (!flag) printf("empty set");  
  97.     puts("");  
  98.     return 0;  
  99. }  
练习
poj1436 Horizontally Visible Segments
poj2991 Crane
Another LCIS
Bracket Sequence

区间合并

这类题目会询问区间中满足条件的连续最长区间,所以PushUp的时候需要对左右儿子的区间进行合并
poj3667 Hotel 题意:1 a:询问是不是有连续长度为a的空房间,有的话住进最左边 2 a b:将[a,a+b-1]的房间清空 思路:记录区间中最长的空房间 线段树操作:update:区间替换 query:询问满足条件的最左断点
  1. #include <cstdio>  
  2. #include <cstring>  
  3. #include <cctype>  
  4. #include <algorithm>  
  5. using namespace std;  
  6. #define lson l , m , rt << 1  
  7. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  8.    
  9. const int maxn = 55555;  
  10. int lsum[maxn<<2] , rsum[maxn<<2] , msum[maxn<<2];  
  11. int cover[maxn<<2];  
  12.    
  13. void PushDown(int rt,int m) {  
  14.     if (cover[rt] != -1) {  
  15.         cover[rt<<1] = cover[rt<<1|1] = cover[rt];  
  16.         msum[rt<<1] = lsum[rt<<1] = rsum[rt<<1] = cover[rt] ? 0 : m - (m >> 1);  
  17.         msum[rt<<1|1] = lsum[rt<<1|1] = rsum[rt<<1|1] = cover[rt] ? 0 : (m >> 1);  
  18.         cover[rt] = -1;  
  19.     }  
  20. }  
  21. void PushUp(int rt,int m) {  
  22.     lsum[rt] = lsum[rt<<1];  
  23.     rsum[rt] = rsum[rt<<1|1];  
  24.     if (lsum[rt] == m - (m >> 1)) lsum[rt] += lsum[rt<<1|1];  
  25.     if (rsum[rt] == (m >> 1)) rsum[rt] += rsum[rt<<1];  
  26.     msum[rt] = max(lsum[rt<<1|1] + rsum[rt<<1] , max(msum[rt<<1] , msum[rt<<1|1]));  
  27. }  
  28. void build(int l,int r,int rt) {  
  29.     msum[rt] = lsum[rt] = rsum[rt] = r - l + 1;  
  30.     cover[rt] = -1;  
  31.     if (l == r) return ;  
  32.     int m = (l + r) >> 1;  
  33.     build(lson);  
  34.     build(rson);  
  35. }  
  36. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
  37.     if (L <= l && r <= R) {  
  38.         msum[rt] = lsum[rt] = rsum[rt] = c ? 0 : r - l + 1;  
  39.         cover[rt] = c;  
  40.         return ;  
  41.     }  
  42.     PushDown(rt , r - l + 1);  
  43.     int m = (l + r) >> 1;  
  44.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
  45.     if (m < R) update(L , R , c , rson);  
  46.     PushUp(rt , r - l + 1);  
  47. }  
  48. int query(int w,int l,int r,int rt) {  
  49.     if (l == r) return l;  
  50.     PushDown(rt , r - l + 1);  
  51.     int m = (l + r) >> 1;  
  52.     if (msum[rt<<1] >= w) return query(w , lson);  
  53.     else if (rsum[rt<<1] + lsum[rt<<1|1] >= w) return m - rsum[rt<<1] + 1;  
  54.     return query(w , rson);  
  55. }  
  56. int main() {  
  57.     int n , m;  
  58.     scanf("%d%d",&n,&m);  
  59.     build(1 , n , 1);  
  60.     while (m --) {  
  61.         int op , a , b;  
  62.         scanf("%d",&op);  
  63.         if (op == 1) {  
  64.             scanf("%d",&a);  
  65.             if (msum[1] < a) puts("0");  
  66.             else {  
  67.                 int p = query(a , 1 , n , 1);  
  68.                 printf("%d\n",p);  
  69.                 update(p , p + a - 1 , 1 , 1 , n , 1);  
  70.             }  
  71.         } else {  
  72.             scanf("%d%d",&a,&b);  
  73.             update(a , a + b - 1 , 0 , 1 , n , 1);  
  74.         }  
  75.     }  
  76.     return 0;  
  77. }  
练习
hdu3308 LCIS
hdu3397 Sequence operation
hdu2871 Memory Control
hdu1540 Tunnel Warfare
CF46-D Parking Lot
 

扫描线

这类题目需要将一些操作排序,然后从左到右用一根扫描线(当然是在我们脑子里)扫过去
最典型的就是矩形面积并,周长并等题
 
hdu1542 Atlantis
题意:矩形面积并 思路:浮点数先要离散化;然后把矩形分成两条边,上边和下边,对横轴建树,然后从下到上扫描上去,用cnt表示该区间下边比上边多几个,sum代表该区间内被覆盖的线段的长度总和 这里线段树的一个结点并非是线段的一个端点,而是该端点和下一个端点间的线段,所以题目中r+1,r-1的地方可以自己好好的琢磨一下
线段树操作:update:区间增减 query:直接取根节点的值
  1. #include <cstdio>  
  2. #include <cstring>  
  3. #include <cctype>  
  4. #include <algorithm>  
  5. using namespace std;  
  6. #define lson l , m , rt << 1  
  7. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  8.    
  9. const int maxn = 2222;  
  10. int cnt[maxn << 2];  
  11. double sum[maxn << 2];  
  12. double X[maxn];  
  13. struct Seg {  
  14.     double h , l , r;  
  15.     int s;  
  16.     Seg(){}  
  17.     Seg(double a,double b,double c,int d) : l(a) , r(b) , h(c) , s(d) {}  
  18.     bool operator < (const Seg &cmp) const {  
  19.         return h < cmp.h;  
  20.     }  
  21. }ss[maxn];  
  22. void PushUp(int rt,int l,int r) {  
  23.     if (cnt[rt]) sum[rt] = X[r+1] - X[l];  
  24.     else if (l == r) sum[rt] = 0;  
  25.     else sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
  26. }  
  27. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
  28.     if (L <= l && r <= R) {  
  29.         cnt[rt] += c;  
  30.         PushUp(rt , l , r);  
  31.         return ;  
  32.     }  
  33.     int m = (l + r) >> 1;  
  34.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
  35.     if (m < R) update(L , R , c , rson);  
  36.     PushUp(rt , l , r);  
  37. }  
  38. int Bin(double key,int n,double X[]) {  
  39.     int l = 0 , r = n - 1;  
  40.     while (l <= r) {  
  41.         int m = (l + r) >> 1;  
  42.         if (X[m] == key) return m;  
  43.         if (X[m] < key) l = m + 1;  
  44.         else r = m - 1;  
  45.     }  
  46.     return -1;  
  47. }  
  48. int main() {  
  49.     int n , cas = 1;  
  50.     while (~scanf("%d",&n) && n) {  
  51.         int m = 0;  
  52.         while (n --) {  
  53.             double a , b , c , d;  
  54.             scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);  
  55.             X[m] = a;  
  56.             ss[m++] = Seg(a , c , b , 1);  
  57.             X[m] = c;  
  58.             ss[m++] = Seg(a , c , d , -1);  
  59.         }  
  60.         sort(X , X + m);  
  61.         sort(ss , ss + m);  
  62.         int k = 1;  
  63.         for (int i = 1 ; i < m ; i ++) {  
  64.             if (X[i] != X[i-1]) X[k++] = X[i];  
  65.         }  
  66.         memset(cnt , 0 , sizeof(cnt));  
  67.         memset(sum , 0 , sizeof(sum));  
  68.         double ret = 0;  
  69.         for (int i = 0 ; i < m - 1 ; i ++) {  
  70.             int l = Bin(ss[i].l , k , X);  
  71.             int r = Bin(ss[i].r , k , X) - 1;  
  72.             if (l <= r) update(l , r , ss[i].s , 0 , k - 1, 1);  
  73.             ret += sum[1] * (ss[i+1].h - ss[i].h);  
  74.         }  
  75.         printf("Test case #%d\nTotal explored area: %.2lf\n\n",cas++ , ret);  
  76.     }  
  77.     return 0;  
  78. }  
 
hdu1828 Picture
题意:矩形周长并
思路:与面积不同的地方是还要记录竖的边有几个(numseg记录),并且当边界重合的时候需要合并(用lbd和rbd表示边界来辅助)
线段树操作:update:区间增减 query:直接取根节点的值
  1. #include <cstdio>  
  2. #include <cstring>  
  3. #include <cctype>  
  4. #include <algorithm>  
  5. using namespace std;  
  6. #define lson l , m , rt << 1  
  7. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  8.    
  9. const int maxn = 22222;  
  10. struct Seg{  
  11.     int l , r , h , s;  
  12.     Seg() {}  
  13.     Seg(int a,int b,int c,int d):l(a) , r(b) , h(c) , s(d) {}  
  14.     bool operator < (const Seg &cmp) const {  
  15.         if (h == cmp.h) return s > cmp.s;  
  16.         return h < cmp.h;  
  17.     }  
  18. }ss[maxn];  
  19. bool lbd[maxn<<2] , rbd[maxn<<2];  
  20. int numseg[maxn<<2];  
  21. int cnt[maxn<<2];  
  22. int len[maxn<<2];  
  23. void PushUP(int rt,int l,int r) {  
  24.     if (cnt[rt]) {  
  25.         lbd[rt] = rbd[rt] = 1;  
  26.         len[rt] = r - l + 1;  
  27.         numseg[rt] = 2;  
  28.     } else if (l == r) {  
  29.         len[rt] = numseg[rt] = lbd[rt] = rbd[rt] = 0;  
  30.     } else {  
  31.         lbd[rt] = lbd[rt<<1];  
  32.         rbd[rt] = rbd[rt<<1|1];  
  33.         len[rt] = len[rt<<1] + len[rt<<1|1];  
  34.         numseg[rt] = numseg[rt<<1] + numseg[rt<<1|1];  
  35.         if (lbd[rt<<1|1] && rbd[rt<<1]) numseg[rt] -= 2;//两条线重合  
  36.     }  
  37. }  
  38. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
  39.     if (L <= l && r <= R) {  
  40.         cnt[rt] += c;  
  41.         PushUP(rt , l , r);  
  42.         return ;  
  43.     }  
  44.     int m = (l + r) >> 1;  
  45.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
  46.     if (m < R) update(L , R , c , rson);  
  47.     PushUP(rt , l , r);  
  48. }  
  49. int main() {  
  50.     int n;  
  51.     while (~scanf("%d",&n)) {  
  52.         int m = 0;  
  53.         int lbd = 10000, rbd = -10000;  
  54.         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
  55.             int a , b , c , d;  
  56.             scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);  
  57.             lbd = min(lbd , a);  
  58.             rbd = max(rbd , c);  
  59.             ss[m++] = Seg(a , c , b , 1);  
  60.             ss[m++] = Seg(a , c , d , -1);  
  61.         }  
  62.         sort(ss , ss + m);  
  63.         int ret = 0 , last = 0;  
  64.         for (int i = 0 ; i < m ; i ++) {  
  65.             if (ss[i].l < ss[i].r) update(ss[i].l , ss[i].r - 1 , ss[i].s , lbd , rbd - 1 , 1);  
  66.             ret += numseg[1] * (ss[i+1].h - ss[i].h);  
  67.             ret += abs(len[1] - last);  
  68.             last = len[1];  
  69.         }  
  70.         printf("%d\n",ret);  
  71.     }  
  72.     return 0;  
  73. }  
练习
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hdu3642 Get The Treasury
poj2482 Stars in Your Window
poj2464 Brownie Points II
hdu3255 Farming 
ural1707 Hypnotoad’s Secret
uva11983 Weird Advertisement
 

多颗线段树问题

此类题目主用特点是区间不连续，有一定规律间隔，用多棵树表示不同的偏移区间
题意：
维护一个有序数列{An}，有三种操作：
1、添加一个元素。
2、删除一个元素。
3、求数列中下标%5 = 3的值的和。
由于有删除和添加操作，所以离线离散操作，节点中cnt存储区间中有几个数，sum存储偏移和
  1. #include<iostream>  
  2. #include<cstdio>  
  3. #include<cstring>  
  4. #include<algorithm>  
  5. using namespace std;  
  6. const int maxn=100002;  
  7.   
  8. #define lson l , m , rt << 1    
  9. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1   
  10.   
  11. __int64 sum[maxn<<2][6];  
  12. int cnt[maxn << 2];  
  13.   
  14. char op[maxn][20];  
  15. int a[maxn];  
  16.   
  17. int X[maxn];  
  18.   
  19. void PushUp(int rt)  
  20. {  
  21.     cnt[rt] = cnt[rt<<1] + cnt[rt<<1|1];  
  22.       
  23.     int offset = cnt[rt<<1];  
  24.     for(int i = 0; i < 5; ++i)  
  25.     {  
  26.         sum[rt][i] = sum[rt<<1][i];  
  27.     }  
  28.     for(int i = 0; i < 5; ++i)  
  29.     {  
  30.         sum[rt][(i + offset) % 5] += sum[rt<<1|1][i];  
  31.     }  
  32. }  
  33.   
  34. void Build(int l, int r, int rt)    
  35. {   /*此题Build完全可以用一个memset代替*/  
  36.     cnt[rt] = 0;  
  37.     for(int i = 0; i < 5; ++i)   sum[rt][i] = 0;  
  38.     if( l == r ) return;  
  39.     int m = ( l + r )>>1;      
  40.     Build(lson);    
  41.     Build(rson);     
  42. }   
  43.   
  44. void Updata(int p, int op, int l, int r, int rt)    
  45. {     
  46.     if( l == r )    
  47.     {    
  48.         cnt[rt] = op;   
  49.         sum[rt][1] = op * X[l-1];   
  50.         return ;    
  51.     }    
  52.     int m = ( l + r ) >> 1;    
  53.     if(p <= m)    
  54.         Updata(p, op, lson);    
  55.     else    
  56.         Updata(p, op, rson);    
  57.     
  58.     PushUp(rt);    
  59. }   
  60.   
  61. int main()  
  62. {  
  63.     int n;  
  64.     while(scanf("%d", &n) != EOF)  
  65.     {  
  66.         int nn = 0;  
  67.         for(int i = 0; i < n; ++i)  
  68.         {  
  69.             scanf("%s", &op[i]);  
  70.               
  71.             if(op[i][0] != 's')  
  72.             {  
  73.                 scanf("%d", &a[i]);  
  74.                 if(op[i][0] == 'a')  
  75.                 {  
  76.                     X[nn++] = a[i];  
  77.                 }  
  78.             }  
  79.         }  
  80.           
  81.         sort(X,X+nn);/*unique前必须sort*/  
  82.         nn = unique(X, X + nn) - X; /*去重并得到总数*/  
  83.           
  84.         Build(1, nn, 1);  
  85.           
  86.         for(int i = 0; i < n; ++i)  
  87.         {  
  88.             int pos = upper_bound(X, X+nn, a[i]) - X; /* hash */   
  89.             if(op[i][0] == 'a')  
  90.             {  
  91.                 Updata(pos, 1, 1, nn, 1);  
  92.             }  
  93.             else if(op[i][0] == 'd')  
  94.             {  
  95.                 Updata(pos, 0, 1, nn, 1);  
  96.             }  
  97.             else printf("%I64d\n",sum[1][3]);  
  98.         }  
  99.     }  
  100.     return 0;  
  101. }  
 
题目：给出n个数，每次将一段区间内满足(i-l)%k==0  （r>=i>=l） 的数ai增加c, 最后单点查询。
这种题目更新的区间是零散的，如果可以通过某种方式让离散的都变得连续，那么问题就可以用线段树完美解决。解决方式一般也是固定的，那就是利用题意维护多颗线段树。此题虚维护55颗，更新最终确定在一颗上，查询则将查询点被包含的树全部叠加。
  1. #include<iostream>  
  2. #include<cstdio>  
  3. #include<cstring>  
  4. #include<cmath>  
  5. #include<algorithm>  
  6. #include<set>  
  7. #include<vector>  
  8. #include<string>  
  9. #include<map>  
  10. #define eps 1e-7  
  11. #define LL long long  
  12. #define N 500005  
  13. #define zero(a) fabs(a)<eps  
  14. #define lson step<<1  
  15. #define rson step<<1|1  
  16. #define MOD 1234567891  
  17. #define pb(a) push_back(a)  
  18. using namespace std;  
  19. struct Node{  
  20.     int left,right,add[55],sum;  
  21.     int mid(){return (left+right)/2;}  
  22. }L[4*N];  
  23. int a[N],n,b[11][11];  
  24. void Bulid(int step ,int l,int r){  
  25.     L[step].left=l;  
  26.     L[step].right=r;  
  27.     L[step].sum=0;  
  28.     memset(L[step].add,0,sizeof(L[step].add));  
  29.     if(l==r) return ;  
  30.     Bulid(lson,l,L[step].mid());  
  31.     Bulid(rson,L[step].mid()+1,r);  
  32. }  
  33. void push_down(int step){  
  34.     if(L[step].sum){  
  35.         L[lson].sum+=L[step].sum;  
  36.         L[rson].sum+=L[step].sum;  
  37.         L[step].sum=0;  
  38.         for(int i=0;i<55;i++){  
  39.                 L[lson].add[i]+=L[step].add[i];  
  40.                 L[rson].add[i]+=L[step].add[i];  
  41.                 L[step].add[i]=0;  
  42.         }  
  43.     }  
  44. }  
  45. void update(int step,int l,int r,int num,int i,int j){  
  46.     if(L[step].left==l&&L[step].right==r){  
  47.         L[step].sum+=num;  
  48.         L[step].add[b[i][j]]+=num;  
  49.         return;  
  50.     }  
  51.     push_down(step);  
  52.     if(r<=L[step].mid()) update(lson,l,r,num,i,j);  
  53.     else if(l>L[step].mid()) update(rson,l,r,num,i,j);  
  54.     else {  
  55.         update(lson,l,L[step].mid(),num,i,j);  
  56.         update(rson,L[step].mid()+1,r,num,i,j);  
  57.     }  
  58. }  
  59. int query(int step,int pos){  
  60.     if(L[step].left==L[step].right){  
  61.         int tmp=0;  
  62.         for(int i=1;i<=10;i++)  tmp+=L[step].add[b[i][pos%i]];  
  63.         return a[L[step].left]+tmp;  
  64.     }  
  65.     push_down(step);  
  66.     if(pos<=L[step].mid()) return query(lson,pos);  
  67.     else return query(rson,pos);  
  68. }  
  69. int main(){  
  70.     int cnt=0;  
  71.     for(int i=1;i<=10;i++) for(int j=0;j<i;j++) b[i][j]=cnt++;  
  72.     while(scanf("%d",&n)!=EOF){  
  73.         for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);  
  74.         Bulid(1,1,n);  
  75.         int q,d;  
  76.         scanf("%d",&q);  
  77.         while(q--){  
  78.             int k,l,r,m;  
  79.             scanf("%d",&k);  
  80.             if(k==2){  
  81.                 scanf("%d",&m);  
  82.                 printf("%d\n",query(1,m));  
  83.             }  
  84.             else{  
  85.                 scanf("%d%d%d%d",&l,&r,&d,&m);  
  86.                 update(1,l,r,m,d,l%d);  
  87.             }  
  88.         }  
  89.     }  
  90.     return 0;  
  91. }  
 
posted @ 2015-12-01 15:54  handsomecui  阅读(273)  评论(0)  编辑  收藏  举报