[APIO2010]巡逻-树的直径

题目描述

在一个地区中有 n 个村庄，编号为 1, 2, ..., n。有 n – 1 条道路连接着这些村 庄，每条道路刚好连接两个村庄，从任何一个村庄，都可以通过这些道路到达其 他任一个村庄。每条道路的长度均为 1 个单位。 为保证该地区的安全，巡警车每天要到所有的道路上巡逻。警察局设在编号 为 1 的村庄里，每天巡警车总是从警察局出发，最终又回到警察局。 下图表示一个有 8 个村庄的地区，其中村庄用圆表示（其中村庄 1 用黑色的 圆表示），道路是连接这些圆的线段。为了遍历所有的道路，巡警车需要走的距 离为 14 个单位，每条道路都需要经过两次。

为了减少总的巡逻距离，该地区准备在这些村庄之间建立 K 条新的道路， 每条新道路可以连接任意两个村庄。两条新道路可以在同一个村庄会合或结束 （见下面的图例（c））。 一条新道路甚至可以是一个环，即，其两端连接到同一 个村庄。 由于资金有限，K 只能是 1 或 2。同时，为了不浪费资金，每天巡警车必须 经过新建的道路正好一次。 下图给出了一些建立新道路的例子：

在(a)中，新建了一条道路，总的距离是 11。在(b)中，新建了两条道路，总 的巡逻距离是 10。在(c)中，新建了两条道路，但由于巡警车要经过每条新道路 正好一次，总的距离变为了 15。 试编写一个程序，读取村庄间道路的信息和需要新建的道路数，计算出最佳 的新建道路的方案使得总的巡逻距离最小，并输出这个最小的巡逻距离。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行包含两个整数 n, K(1 ≤ K ≤ 2)。接下来 n – 1 行，每行两个整数 a, b， 表示村庄 a 与 b 之间有一条道路(1 ≤ a, b ≤ n)。

 

输出格式：

 

输出一个整数，表示新建了 K 条道路后能达到的最小巡逻距离。

 

输入输出样例

输入样例#1：

8 1 
1 2 
3 1 
3 4 
5 3 
7 5 
8 5 
5 6 

输出样例#1：

11

输入样例#2： 

8 2 
1 2 
3 1 
3 4 
5 3 
7 5 
8 5 
5 6 

输出样例#2： 

10

输入样例#3： 

5 2 
1 2 
2 3 
3 4 
4 5 

输出样例#3： 

6

说明

10%的数据中，n ≤ 1000, K = 1；

30%的数据中，K = 1；

80%的数据中，每个村庄相邻的村庄数不超过 25；

90%的数据中，每个村庄相邻的村庄数不超过 150；

100%的数据中，3 ≤ n ≤ 100,000, 1 ≤ K ≤ 2。

 

思路：

当k=1时，这道题只需要求树的直径（即树上的最长路径），相当于省掉了树的直径-1(新建的道路需走一次)条路径，答案为(n-1)<<1-树的直径+1

树的直径的求法不详细说明了，Luogu的第二位dalao的题解十二分的透彻(https://www.luogu.org/problemnew/solution/P3629)

然后当k=2时，你会发现求两个树的直径可能会有覆盖的情况，所以你只需要将这条路的值由1改为-1（如果选择被两个环都覆盖路径，则他在第一个环内无法减少路径，第二个环亦然，故需要-1(即路径+2)）

然后就在求一个树的直径就好了(如果两个环由重叠也已处理完毕)

不过这个直径需要用树状DP来做(dfs不能处理负权边)

上代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(long long i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,k,en,to[200500],tot,val[200500],nxt[200500],fir[100500],maxn,D1,st,dis[200500];
bool book[200050];
void ade(ll u,ll v){
    to[++tot]=v;
    nxt[tot]=fir[u];
    fir[u]=tot;
    val[tot]=1;
}
void dfs(ll x,ll fa,ll s){
    if(s>maxn){maxn=s; en=x;}
    for(ll k=fir[x];k;k=nxt[k])
        if(to[k]!=fa) dfs(to[k],x,s+1);
}
bool dfs2(ll x,ll fa,ll s){
    if(s==D1 && x==en){book[x]=1; return 1;}
    for(ll k=fir[x];k;k=nxt[k])
        if(to[k]!=fa) if(dfs2(to[k],x,s+1)){book[x]=1; return 1;}
    return 0;
}
void Tree_DP(ll x,ll fa){ //树上求最长链 
    for(ll k=fir[x];k;k=nxt[k]){
        if(to[k]!=fa){
            Tree_DP(to[k],x);
            maxn=max(maxn,dis[x]+dis[to[k]]+val[k]);
            dis[x]=max(dis[x],dis[to[k]]+val[k]);
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    rep(i,1,n-1){
        ll u,v;
        scanf("%lld%lld",&u,&v);
        ade(u,v);ade(v,u);
    }
    dfs(1,0,0); maxn=0; st=en;
    dfs(st,0,0); D1=maxn;
    if(k==1){
        printf("%lld",((n-1)<<1)-D1+1);
        return 0;
    }
    book[0]=dfs2(st,0,0);
    rep(i,1,n)
        if(book[i])
            for(ll k=fir[i];k;k=nxt[k]) 
                if(book[to[k]]) val[k]=-1;
    maxn=0;
    Tree_DP(1,0);
    printf("%lld\n",(n<<1)-D1-maxn);
    return 0;
}