莫比乌斯反演
莫比乌斯函数
definition：
性质：
1.是积性函数
2.$\sum\limits_{d|n} \mu(d) = [n=1]$
证明：二项式定理直接证吧
3.
欧拉函数
https://www.cnblogs.com/handsome-wjc/p/11270664.html
莫比乌斯反演
1.$若 F(n)=\sum\limits_{d|n} f(d)$
则 $f(n)=\sum\limits_{d|n} \mu(d)F(\frac{n}{d})$
证明：
$\sum\limits_{d|n} \mu(d)F(\frac{n}{d})=\sum\limits_{d|n} \mu(d) \sum\limits_{p|\frac{n}{d}} f(p)=\sum\limits_{i|n} f(i) \sum\limits_{d|\frac{n}{i}} \mu(d)=f(n)$
2.
$若 F(n)=\sum\limits_{n|d} f(d)$
则 $f(n)=\sum\limits_{n|d} \mu(\frac{d}{n})F(d)$
证明方法 is similar to 第一个
整几道例题
1.YY的gcd
方法：Mobius函数性质1、莫比乌斯反演式子2都可以做
总之就是套路的把$\sum \sum [gcd(i,j) \in prime]$ 给提出来
如果用莫比乌斯反演的话，式子应该为$f(d)=\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} [gcd(i,j)=d]$
我们想用整除分块的方法解题，那么自然要处理$gcd(i,j)=kd(k \in N^{+})$的情况
这种时候用莫比乌斯反演式子2就非常nice ，因为这个式子就是为了处理上述的这种情况诞生的
细品品式子2，你就能发现这一点
所以以后但凡要处理$gcd(i,j)=kd(k \in N^{+})$这个样子的东西的时候直接把式子2放上去即可
2.[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB
还是直接把莫比乌斯反演式子2扔上去，和上面的那个题并没有太大difference
或者用莫比乌斯函数性质2解题也挺convenient的
这种看到时间复制度为O(n)且极大概率是莫比乌斯反演的题应该思考整除分块套整除分块，说白了就是整除分块套一个反演
3.[CQOI2015]选数
和前两道题一样的套路，只不过需要学一下杜教筛
这道题还有一个非常神奇的性质
就是$\lceil \frac{A}{B} \rceil = \lfloor \frac{A-1}{B} \rfloor +1$
神奇了吧
这道题真的很不错
通过这道题可以悟出不少东西
首先<=a这个限制太恶心了，我们先考虑没有这个性质的解题方法
套路推式，推出$\sum\limits_{k=1}^{n} \lfloor \frac{n}{k} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{k} \rfloor \sum\limits_{p|k} \sigma(k)*\mu(\frac{k}{p})$
如果没有限制我们就做完了
但是现实，是有限制的
于是我们看看数据范围，发现这个n和m都怪小的，所以时间复杂度很有可能不少O(n)级别的
我们自然想到能否暴力处理后面的那一坨
仔细观察、思考可知限制a只和 $\sigma(x)$有关
所以我们离线一发询问，按a的大小排序
然后不断的把小于等于a的$\sigma(x)$插入到记前缀和的树状数组中
就做完了
