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FFT：

单位根：

在复平面上，以原点为圆心，$1$为半径作圆，所得的圆叫单位圆。以圆点为起点，圆的$n$等分点为终点，做$n$个向量，设幅角为正且最小的向量对应的复数为

$\omega_n$​，称为$n$次单位根。

单位根计算公式：$\omega_{n}^{k}=cos \frac{k \times 2 \pi}{n} + i sin\frac{k \times 2 \pi}{n}$

单位根性质：

1.$\omega_{n}^{x+y}=\omega_{n}^{x} \times \omega{n}^{y}$

证明方法：由复数的乘法运算方法为幅角相加，模长及单位根的定义可得

2.$\omega_{n}^{k}=\omega_{2n}^{2k}$

直接由公式证明即可：$cos \frac{k \times 2 \pi}{n} + i sin\frac{k \times 2 \pi}{n}=cos \frac{2k \times 2 \pi}{2n} + i sin\frac{2k \times 2 \pi}{n}$

3.$\omega_{n}^{k}=- \omega_{n}^{k+ \frac{n}{2}}$

证明方法：$\omega_{n}^{\frac{n}{2}}=cos \frac{\frac{n}{2} \times 2 \pi}{n} + i sin\frac{\frac{n}{2} \times 2 \pi}{n}=cos \pi + sin \pi =-1$

4.$\omega_{n}^{k}=\omega_{n}^{k+n}$

证明方法：公式

5.$\omega_{n}^{0}=\omega_{n}^{n}=1$

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快速傅里叶变换

设 $A(x)=a_0+a_1*x+a_2*{x^2}+a_3*{x^3}+a_4*{x^4}+a_5*{x^5}+ \dots+a_{n-2}*x^{n-2}+a_{n-1}*x^{n-1}$

按指数的奇偶分类：

令$A1(x)=a_0+a_2*{x^2}+a_4*{x^4}+ \dots+a_{n-2}*x^{n-2}$

$A2(x)=a_1*x+a_3*{x^3}+a_5*{x^5}+ \dots+a_{n-1}*x^{n-1}=x(a_1+a_3*{x^2}+a_5*{x^4}+ \dots+a_{n-1}*x^{n-2})$

所以$A(\omega_{n}^{k})=A1(\omega_{n}^{2k})+\omega_{n}^{k}*A2(\omega_{n}^{2k})$

由$\omega_{n}^{k}=- \omega_{n}^{k+ \frac{n}{2}}$可知
$A1( \omega_{n}^{k+ \frac{n}{2}})=A1(\omega_{n}^{k}),A2(\omega_{n}^{k+ \frac{n}{2}})=-A2(\omega_{n}^{k})$

$\therefore A(\omega_{n}^{k+ \frac{n}{2}})=A1(\omega_{n}^{2k})-\omega_{n}^{k}*A2(\omega_{n}^{2k})$

由此可见，我们只需要计算$\omega_{n}{k} (k \in [0,\frac{n}{2}-1])$ 就可以了

容易发现这样计算序列${a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}}$只需要下传$log n$ 层

时间复杂度O(n log n)

 

快速傅里叶逆变换

Our's aim is to change 点值表示法 into 系数表示法

既然系数表示法能转成点值表示法，那么我们不妨将点值表示法的序列${y_0,y_1,y_2,\dots,y_{n-1}}$当成系数表示法

然后设序列c为以序列y为系数表示法得到的点值表示法，看看序列c和实际的系数表示法直接的联系

$c_k= \sum y_i * (\omega_n^{-k})^i $

$=\sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} a_j*(\omega_n^i)^j * (\omega_n^i)^k$

$=\sum_{j=0}^{n-1} a_j* \sum_{i=0}^{n-1} (\omega_n^{i})^{j-k}$

由性质3可知，当$j-k != 0$ 时，$\sum_{i=0}^{n-1} (\omega_n^{i})^{j-k}=0$

所以$c_k=a_k * n$

理论部分就到此结束了qwq

 

代码实现

像这样正着传会进行很多的重复操作

所以我们要倒着传才能达到$O(n log n)$

倒着传的流程图如下

打表发现，最后一层的数值为a[下标二进制反转]

fft完结撒花

 

NTT： 

快速数论变换，可以取模（但只能处理系数为整数的多项式运算）

原根：

Definition：对于$g,p \in Z$,如果$g^i \space mod \space p,(i \in [1,p-1])$的值互不相同，那么称g为p的原根

Instance: $998244353,1004535809,469762049的原根都是3$

性质

我们将$g^{(p-1)/n}当做原根中的\omega_{n}^{1}$

性质1：指数乘法运算法则

性质2：指数乘法运算法则

性质3：由于$(g^{k*(p-1)/n})^2=(g^{k*(p-1)/n+(p-1)/2})^2，根据原根的性质可知g^{k*(p-1)/n}！=g^{k*(p-1)/n+(p-1)/2}$，所以这两个东西是相反数

性质4：费马小定理

性质5：费马小定理

过程&代码实现同fft

ntt完结撒花