Lucas算法记录

定义：$C_{n}^{m}\equiv C_{n/p}^{m/p} * C_{n \mod p}^{m \mod p} (\mod p)$

证明：1.由费马小定理可知$a^{p} \equiv p(\mod p)$

           2.你需要知道二项式定理

           3.$\therefore (1+x)^{p} \equiv 1+x^{p} $——这个用前两个东西证就好

           4.$\therefore (1+x)^{n}$

              $=(1+x)^{(n/p) \times p} \times (1+x)^{n \mod p}$

              $\equiv (1+x^{p})^{n/p} \times {1+x}^{n \mod p}$

              $\equiv \sum\limits_{i=0}^{n/p} C_{n/p}^{i} \times x^{pi} \times \sum\limits_{j=0}^{n \space mod \space p} C_{n\space mod \space p}^{j} \times x^{j}$

              $\equiv \sum\limits_{i=0}^{n/p}  \sum\limits_{j=0}^{n \mod p} C_{n/p}^{i} \times C_{n\space \mod \space p}^{j} \times x^{pi+j}$

              对于$x^{m}$这一项，我们可以发现左边的式子中这一项的系数是$C_{n}^{m}$,而右边呢，$i=m/p$，$ j=m \mod p ,C_{n/p}^{i} \times C_{n \mod  p}^{j} \times x^{pi+j}$

              $\therefore C_{n}^{m}\equiv C_{n/p}^{m/p} \times C_{n \mod p}^{m \mod p} (\mod p)$