数据结构——时间复杂度

目录

• 时间复杂度
  • 方法
  • O(1)
  • O(logn)
  • O(nlogn)
  • O(m+n)、O(m*n)

时间复杂度：算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。 空间复杂度：算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

时间复杂度

方法

1.只关注循环次数最多的代码 2.加法法则：只关注量级最大的代码 3.乘法法则：嵌套代码的复杂度=内代码的复杂度*外代码的复杂度

O(1)

首先你必须明确一个概念，O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。
比如这段代码，即便有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1），而不是 O(3)。
int i = 8; int j = 6; int sum = i + j;
稍微总结一下，只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。
或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

O(logn)

对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。
通过一个例子来说明一下。
i=1; while (i <= n) { i = i * 2; }
根据我们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。
从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。通过 2^x=n 求解 x
x=log₂n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log₂n)。

实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。

为什么呢？我们知道，对数之间是可以互相转换的，log3n 就等于 log₃2 * log₂n，所以 O(log₃n) = O(C * log₂n)，其中 C=log₃2 是一个常量。

O(nlogn)

如果你理解了我前面讲的 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗？

如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。
而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

O(m+n)、O(m*n)

  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
} 

当存在多个数据规模，且无法判断哪个数据规模大的时候，无法直接套用加法法则，需要保留多个数据规模。

针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。