素数有关基本算法

该文章包含模块为判断素数，分解质因数，筛素数三大模块

判断素数
我们最容易想到的素数判断就是试除法，就是枚举从2到n-1中所有的数，尝试从其中找到n的因数，找到了就是合数，反之则为素数，实践复杂度为O(n)。
然而我们很容易发现该方法重复了许多无用的步骤，比如很明显的n-1就很难是n的因数，我们可以尝试从其中找出那些重复的数。
我们想到，如果一个数是合数，那么因数一定是成对出现的，并且似乎是“均匀”地分布在根号n两侧，那么我们就可以大大减少重复的次数

 1 bool is_prime(int n){
 2     
 3     if(n<2)return false;
 4     
 5     for(int i=2;i<=n/i;i++){
 6         if(n%i==0)return false;
 7     }
 8     
 9     return true;
10 }

分解质因数
如果我们想找到一个合数的质因数及其幂，那么我们只需要简单的利用以下程序

 1 void prime(int n){
 2     
 3     for(int i=2;i<=n/i;i++){
 4         
 5         if(n%i==0){
 6             int s=0;
 7             while(n%i==0){
 8                 n/=i;
 9                 s++;
10             }
11             printf("%d %d\n",i,s);
12         }
13         
14     }
15     
16     if(n>1)printf("%d 1\n",n);
17     puts("");
18 }

比较好理解，不做过多讲解

筛素数
现在试想我们想从1-n中将所有素数筛选出来并找到其个数，我们不可能对于每个数都用一遍暴力判断和优化判断，即使是优化判断的实践复杂度也是可想而知的高，这里，我们可以不妨考虑将所有的合数筛出来，那么剩下的数就是素数。
下面分为埃氏筛法和欧式筛法，其中在n的量级较大时(>=1e6)，后者比前者快得多，虽然两者耗时都不长。
埃氏筛法————
基本思路是利用合数可以分解为质因数之积的原理，我们利用已经筛出的素数筛掉合数，时间复杂度为nln(n)

 1 void find_prime(int n){
 2     
 3     if(n<2)return;
 4     
 5     for(int i=2;i<=n;i++){
 6         if(!st[i]){
 7             cnt++;
 8             for(int j=i+i;j<=n;j+=i){
 9                 st[j]=true;
10             }
11         }
12     }
13 }

欧式筛法————
我们从上面的埃氏筛法可以看到，尽管上面的筛法看起来已经优化了不少，我们还是可以从中看到其中有许多合数被重复筛掉，欧式筛法恰恰可以避免这种情况，以至于我们的时间是线性的

 1 void find_prime(int n){
 2     
 3     if(n<2)return;
 4     
 5     for(int i=2;i<=n;i++){
 6         
 7         if(!st[i])prime[cnt++]=i;
 8         
 9         for(int j=0;prime[j]<=n/i;j++){
10             st[prime[j]*i]=true;
11             if(i%prime[j]==0)break;
12         }
13     }
14 }