树的基本概念

树是由\(n (n \ge 0)\)个节点组成的有限集合（记为\(T\))。如果\(n=0\),它是一棵空树；如果\(n \gt 0\),这 \(n\)个节点中存在一个节点作为树的根节点，其余节点可分为\(m （m \ge 0)\)个互不相交的有限集\(T_1、T_2、...T_m，\)其中每个集合本身又是一棵树，称为根节点的子树。「这是一个递归定义」

一些基本概念

• 节点的度：节点中拥有的子树个数或者分支个数。
• 树的度：树中各节点度的最大值，通常将度为 \(m\) 的树称为 \(m\) 次树。
• 叶子（终端）节点：度为 \(0\) 的节点
• 分支（非终端）节点：度不为 \(0\) 的节点
• 层次：从根开始，根为第一层，根的孩子为第二层，依次类推 (有的定义根为第一层）
• 树的高度:树中节点的最大层次（从根开始）。
• 森林：\(n (n \ge 0)\) 个互不相交的树的集合称为森林。森林和树的定义十分相似，只要把树的根节点删除就成了森林，反之，只要给 \(n\) 棵独立的树加上一个节点，并把这 \(n\) 棵树作为该节点的子树，则森林变成了树

树的一些性质

• 树中的节点数 \(n\) 等于所有节点的度数加 \(1\)。度之和=分支数，而分支数= \(n-1\)
• 度为\(m\)的树中第\(i\)层上至多有 \(m^{i-1}\) 个节点
• 高度为 \(m=h\) 的树中第\(i\)层上至多有 \(\frac{m^{h}-1}{m-1}\) 个节点
• 具有\(n\)个节点的 \(m\)次树的最小高度为 \(\lceil log_m(n(m-1)+1)\rceil\)

树的存储结构

• 双亲存储结构: 顺序存储结构，用一组连续空间存储树的所有节点，同时在每个节点中附设一个伪指针指示其双亲节点的位置。其中根节点的伪指针为\(-1\)。  利用了每个节点（根节点除外）只有唯一双亲节点的性质。这种存储结构中，求某个节点的双亲节点的时间复杂度为\(O(1)\),求某个节点的孩子节点的时间复杂度为 \(O(n)\)
• 孩子链存储表示:\(d\)越大，空间浪费越严重。  
• 孩子兄弟链存储:  

树的遍历

• 先根遍历:先访问根节点，再按照从左到右的次序先根遍历该根节点的每一个子树:
  

• 后根遍历:先按照从左到右的次序后根遍历根节点的每一棵子树，再访问根节点。

二叉树

二叉树是由 \(n (n \ge 0)\) 个节点的有限集合，该集合或者为空集，或者由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。



• 满二叉树:一棵高度为\(h\) 且有\(2^h-1\)个节点的二叉树。即所有分支节点都有左右孩子，并且叶子节点集中在二叉树的最下层。
  • 叶子节点都在最后一层
  • 只有度为 \(0\) 和度为 \(2\) 的节点
• 完全二叉树:对一棵具有\(n\)个节点的完全二叉树按层次编号，当且仅当每一个节点都与高度为 \(h\) 的满二叉树编号一一对应
  • 叶子节点只可能在层次最大的两层上出现
  • 对于最大层次中的叶子节点，都依次排列在该层最左边的位置上
  • 如果有度为 \(1\) 的节点，只可能有 \(1\) 个，且该节点只有左孩子而无右孩子
  • 按层次编号后，一旦出现某个节点(其编号为\(i\))为叶子节点或只有左孩子，则编号大于 \(i\) 的节点均为叶子节点
  • 当节点总数\(n\)为奇数时，\(n_1=0\),当节点总数为\(n\)为偶数时\(n_1=1\)

二叉树的性质

• 每个节点最多有两棵子树，二叉树中不存在度大于 \(2\) 的节点
• 子树的顺序不能颠倒，某节点即使只有一棵子树也要区分是左子树还是右子树

• 由\(n\)个节点构成的二叉树的形态总数为\(\frac{C_{2n}^n}{n+1}\)

  

• 非空二叉树的叶子节点数等于双分支节点数\(+1\),即 \(n_0 = n_2+1\)

• 具有\(n\) 个节点的完全二叉树的高度为\(\lceil log_2(n+1) \rceil\) 或\(\lfloor log_2 n \rfloor + 1 \)

二叉树的存储

• 树的顺序存储:用一个数组来存储一棵二叉树，这种存储方式最适合于完全二叉树，用于存储一般的二叉树会浪费大量的存储空间。  
• 链式存储结构:
  • 二叉链存储结构： 
  • 三叉链表存储结构：

二叉树的遍历

• 先根（先序）遍历:
  
  

• 中根(中序）遍历:
  
  中序遍历的非递归实现:先扫描（并非访问）根节点的所有左节点并将它们一一进栈。然后出栈一个节点 \(p\), 显然 \(p\) 没有左孩子节点或者左孩子节点已经访问过了，则现在应该访问它，然后扫描该右孩子节点的所有左孩子节点并一一进栈，如此继续直到栈空为止。
  

• 后根(后序) 遍历:
  
  后序遍历的非递归实现:先扫描根节点的所有左节点并一一进栈，扫描完之后出栈一个节点 \(p\),即当前节点，然后扫描该节点的右孩子节点并进栈，再扫描该右孩子的节点的所有左节点并进栈。当一个节点的左、右孩子节点均访问后再访问该节点，如此反复，直到栈空为止。

  难点是怎么判断一个节点的右孩子节点已经访问过? 不妨使用q来保存右子树中刚刚被访问的节点(初值为NULL)，若此时满足p->rchild==q成立，说明此时p的左右孩子均已访问，现在应该访问p节点。