二叉排序树

二叉排序树又称“二叉查找树”、“二叉搜索树”（简称\(BST\)）。二叉排序树：或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
它的左、右子树也分别为二叉排序树。

从BST性质可推出：按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增的有序序列

构造\(BST:\)
查找
删除:删除一个节点不能把以该节点为根的子树都删除，只能删除这个节点并保持二叉树排序树的特性。即相当于删除有序序列中的一个记录，只要在删除某结点之后调整树中某些结点，使之继续保持二叉排序树的特性即可。主要分为以下四种情况：
- 叶子节点：由于没有左右子树，因此直接删除不会破坏原有二叉树的结构
- 左单分支节点：只须将\(*p\)节点的左子树直接作为双亲节点\(*f\)的左孩子即可
- 右单分支节点：只须将\(*p\)节点的右子树直接作为双亲节点\(*f\)的右孩子即可
- 双分支节点: 若\(*p\)节点的左、右子树不空。分为两种方法：
  - 用\(*p\)节点的左子树的最右下节点（对应左子树的最右节点）\(*r\)的值代替\(*p\)节点的值，然后用第\(2\)种和第\(3\)种情况删除\(*r\)节点
  - 用\(*p\)节点的右子树的最左下节点（对应右子树的最左节点）\(*r\)的值代替\(*p\)节点的值，然后用第\(2\)种和第\(3\)种情况删除\(*r\)节点

有一棵二叉排序树按先序遍历得到的序列为：\((50,38,30,45,40,48,70,75,80)\)。\((1)\)画出该二叉排序树 \(（2）\)求在等概率下查找成功和不成功的平均查找长度(比较次数）
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一棵\(BST\)的结构如图所示，其中各节点的关键字依次为\(32-40\)请标出各关键字。
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根据中序遍历的结果可知：
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判断一棵二叉树是否为二叉排序树
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等概率下构造最佳二叉排序树的步骤

先将字典元素的关键码排序;
对每个关键码按二分法在排序关键码序列中执行检索, 将检索中遇到的还未在二叉排序树中的关键码插入二叉排序树中

哈夫曼树

哈夫曼树是指在\(n\)个带权叶子节点构成的二叉树中，其中带权路径长度\(WPL\)最小的二叉树，也称为最优二叉树。「哈夫曼树没有度为1的节点」

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构建哈夫曼树的方法

将所有左，右子树都为空的节点作为根节点，构建初始森林。
在森林中选出两棵根节点的权值最小的树作为一棵新树的左，右子树，且置新树的附加根节点的权值为其左，右子树上根节点的权值之和。注意，左子树的权值应小于右子树的权值。
从森林中删除这两棵树，同时把新树加入到森林中。
重复\(2，3\)步骤，直到森林中只有一棵树为止，此树便是哈夫曼树。

哈夫曼编码:利用哈夫曼树求得的用于通信的二进制编码称为哈夫曼编码。树中从根到每个叶子节点都有一条路径，对路径上的各分支约定指向左子树的分支表示”0”码，指向右子树的分支表示“1”码，取每条路径上的“0”或“1”的序列作为各个叶子节点对应的字符编码，即是哈夫曼编码。

译码的唯一性：要求任一字符的编码都不能是另一字符编码的前缀「任意一个叶子结点都不可能在其它叶子结点的路径中」
数据的最小冗余编码问题：哈夫曼树的定义

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若度为\(m\)的哈夫曼树中，叶子节点个数为\(n\),则非叶子节点的个数为
\(\ulcorner \frac{(n-1)}{m-1} \urcorner\)
度为m的哈夫曼树，只包含有度为\(0\)的结点和度为\(m\)的结点，可以设度为\(m\)的结点个数为\(x\)，则哈夫曼树中边的条数为\(mx\)，
而树中边的条数为总结点数减\(1\)，即\(n+x-1\)，两式相等，可得\(x\)的值