同余基础
概念
首先,同余是数论中一个非常重要的内容,信息学中的数论无非就是围绕着素数和同余等转来转去,所以,这一块要好好学阿。
同余的定义:有两整数$a,b$,若它们除以整数$m$所得的余数相等,则称$a$与$b$对于模$m$同余或$a$同余于$b$模$m$
记作:$a\equiv b \pmod{m}$
再简单点说,对于两个数$a,b$,$a\div m=x\ldots r$,$b\div m=y\ldots r$,这两个表达式的余数相同,就说$a$和$b$关于模$m$同余。例如,$34\div 7=4\ldots 6$,$20\div 7=2\ldots 6$,$34$和$20$除以$7$得到的余数相同,都是$6$,就是$34$和$20$关于模$7$同余。很简单吧。
下面要用到的:$(a,b)$表示$a$和$b$的最大公约数,还可表示为$gcd(a,b)$。类似的,$[a,b]$表示$a$和$b$的最小公倍数,还可表示为$lcm(a,b)$
同余的十条性质
- 若 $a\equiv b \pmod{m}$,则$b\equiv a \pmod{m}$
- 若 $a\equiv b \pmod{m}$,$b\equiv c \pmod{m}$,则$a\equiv c \pmod{m}$
- 若 $a_1\equiv b_1 \pmod{m}$,$a_2\equiv b_2 \pmod{m}$,则$a_1+a_2\equiv b_1+b_2 \pmod{m}$
- 若 $a+b\equiv c \pmod{m}$,则$a\equiv c-b \pmod{m}$
- 若 $a\equiv b \pmod{m}$,并且$a=a_1d$,$b=b_1d$,$(d,m)$=1,则$a_1\equiv b_1 \pmod{m}\\$ 证明一下?可知$a-b\equiv 0 \pmod{m}$,$a_1d-b_1d\equiv 0 \pmod{m}$,则$d(a_1-b_1)\equiv 0 \pmod{m}$,$m\mid d(a_1d-b_1)$,所以$m\mid a_1d-b_1$
- 若 $a\equiv b \pmod{m}$,$k>0$,则$ak\equiv bk \pmod{mk}$
- 若 $a\equiv b \pmod{m}$,$d$是$a,b$及$m$的任意整数,$ \frac{a}{b}\equiv \frac{b}{d} \pmod{\frac{m}{d}} $
- 若 $a\equiv b \pmod{mi}$,$i=1,2\ldots k$,则$a\equiv b \pmod{[m_1,m_2\ldots m_k]}$
- 若 $a\equiv b \pmod{m}$,$d\mid m$,$d>0$,则$a\equiv b \pmod{d}$
- 若 $a\equiv b \pmod{m}$,则$(a,m)=(b,m)$,若$d\mid m$及$a,b$二数之一,则$d\mid a,b$另一个
同余类(剩余类)
设$n$是一个正整数,任意一个整数被$n$除后,所得的余数一共有$n$中情形,$0,1,2\ldots n-1$,它们中每一个数对模$n$不同余。所以说,每个整数恰与这$n$个整数中某一个对模n同余。这样一来,按模$n$是否同余对整数集进行分类,可以将整数集分成$n$个两两不相交的子集。我们把(所有)对模$n$同余的整数构成的一个集合叫做模n的一个剩余类。
简单点说:由关于模$m$同余的数组成的集合,每一个集合叫做关于模$m$的同余类(剩余类)
这定义是从网上copy下来的,基本都是这么说的,有没有一些些糊涂qwq,我第一次看也是。来举个栗子吧,模$5$的剩余类,其中一个是$1,6,11,16,21\ldots $,这些数模$5$都等于$1$,所以这些数在一个剩余类内,模$5$的另外一个剩余类:$2,7,12,17,22\ldots $,它们模$5$都等于$2$,所以它们在一个剩余类内
完全剩余系
完全剩余系其实更好理解,再来copy一下定义:从模$n$的每个剩余类中各取一个数,得到一个由$n$个数组成的集合,叫做模$n$的一个完全剩余系
举个栗子就明白了:关于模$5$的一个完全剩余系是$0,1,2,3,4$,这就是从上面的每个剩余类中拿了第一个数,组成了这个完全剩余系。
最简单的模$m$的完全剩余系是$0,1,2,\ldots ,m-1$,也叫作模$m$的最小非负完全剩余系。显然$m$个相邻整数构成模$m$的一个完全剩余系
区分剩余系与完全剩余系:剩余系就是一个整数集中的数模$n$后余数的集合。如果一个剩余系中包含了这个正整数所有可能的余数(一般地,对于任意正整数$n$,有n个余数:$0,1,2,\ldots ,n-1$),那么就称这个剩余系为模$n$的一个完全剩余系。
应用
同余有几种题型,比如证明能不能被整除,求余数与末尾数,解不定方程
来看几道经典的题
例一:一个整数除$300,262,205$的余数相同(余数不为零),则这个整数是_____。
分析:按照同余的性质,如果$n$分别除以$a,b$后得到相同的余数,那么$n$一定能整除$a-b(a>b)$
所以,这个题就变成了求$gcd(300-262,262-205)$
例二:求$6^{592}$被$11$除的余数
分析:由费马小定理,$6^{10}\equiv 1 \pmod{11}$,$(6,11)=1$,所以$6^{592}=6^{10*59}*6^2=(6^{10})^{59}*6^2$
$(6^{10})^{59}\equiv 1 \pmod{11}$,$6^2*(6^{10})^59\equiv 6^2 \pmod{11}$,所以$6^{592}\equiv 3 \pmod{11}$
例三:$1986$年$2$月$9$日是星期日,请问再过$1988$天是星期几?那么再过$1988^{1986}$天是星期几?
分析:日期问题本质上就是循环问题,循环周期是$7$,过了多少天是星期几,就是转化成天数除以$7$的余数是多少,有点找规律的感觉。$1988\div 7=284\ldots 0$,余数为$0$,所以再过$1988$天还是星期天,但是后面那个怎么解决呢?这就需要一些技巧了。要知道,余数的幂决定幂的余数,几个被除数相乘,每一个被除数除以同一个余数所得的余数乘积,决定了这几个被除数相乘的乘积除以这个除数所得的余数,来看一下
$8\div 7=1 \ldots 1\\$ $9\div 7=1 \ldots 2\\$ $72\div 7=10 \ldots 2$
可以看出,余数相乘的乘积决定了$8$与$9$乘积$72$除以$7$所得的余数,所以对本题来说,我们可以吧$1988$除以$7$得出余数,余数相乘进而求得整体除以$7$所得的余数。$1988\div 7=284\ldots 0$,余数为0,余数相乘得 $0^{1986}=0$,所以$1988^{1986} \div 7$余数为$0$,所以当天还是星期日。
例四:已知整数列${x_n}$满足$x_{n+1}=x_1^2+x_2^2+\ldots +x_n^2,n\ge 1$,求$x_1$的最小值,使得$2006$整除$x_{2006}$
分析:可知$x_{n+1}=\sum_{i=1}^n x_n^2=x_n+x_n^2=x_n(x_n+1)$
所以,$2\mid x_{n+1}$,
故$2006\mid x_{2006} \Longleftrightarrow 1003\mid x_{2006}\Longleftrightarrow 17\mid x_{2006}$ 且$59\mid x_{2006}$
若$x_n\equiv c \pmod {17}$,则
$x_n(x_n+1)\equiv 0 \pmod {17}\Longleftrightarrow c\equiv 0\pmod {17}$或$c\equiv -1\pmod {17}$
而$x(x+1)\equiv -1\pmod {17}$无解,于是,
若$17\mid x_{2006}$,则
$x_{2006}\equiv {x_{2005}(x_{2005}+1)} \pmod {17}$
若$x_{2005}\equiv -1 \pmod {17}$,则$x_{2004}$无解
所以,$17\mid x_{2005}$,
递推知$17\mid x_2$,从而
$x_1\equiv 0 \pmod {17}$或$x_1\equiv -1\pmod {17}$
若$x_n\equiv c \pmod {59}$,则
$x_n(x_n+1)\equiv 0 \pmod {59} \Longleftrightarrow c\equiv 0 \pmod {59}$或$c\equiv -1 \pmod {59}$
而$x(x+1)\equiv -1 \pmod {59}$无解,故同上可知,$x_1\equiv 0$或$-1 \pmod {59}$
若$x_1\equiv 0 \pmod {59}$,$x_1\equiv 0 \pmod {17}$,从而,$x_1$的最小值为$1003$
若$x_1\equiv -1 \pmod {59}$,$x_1\equiv 0 \pmod {17}$,从而,$x_1$的最小值为$15*59-1=884$
若$x_1\equiv -1 \pmod {17}$,$x_1\equiv 0 \pmod {59}$,从而,$x_1$的最小值为$118$
若$x_1\equiv -1 \pmod {17}$,$x_1\equiv -1 \pmod {59}$,从而,$x_1$的最小值为$1003$
综上所述,$x_1$最小值为$118$
还有很多题目然而我太菜了不会证qwq
热烈欢迎来指错
后面会有各个定理的介绍,正在咕咕中 (LaTeX真TM难打)