数据结构与算法复习——7、斐波那契堆和配对堆
7、更多的堆
前面从二叉堆开始对经典的堆进行了复习，包括左偏树、斜堆和二项队列。这一篇介绍两种更优秀（也很经典）的堆：斐波那契堆和配对堆。
一、斐波那契堆的前置知识
之前提到，如果我们能找到堆中某个结点的位置，调整其键值也是一个非常重要的操作。对小根堆来讲（做为例子），增加键值是很难维持复杂度的，一般只可以减小键值，即Decrease。
我们已经知道，二叉堆和二项队列的Decrease操作都是$O(\log N)$的，但某些时候我们会频繁地需要Decrease，这就使我们期待一个更好的时间复杂度。斐波那契堆就是解决这个问题的一个经典办法。不过在介绍斐波那契堆之前，我们先来介绍两个操作，它们是斐波那契堆的灵感来源。
1、左偏树的Decrease
二叉堆和二项队列都可以用向上过滤来进行Decrease，但左偏树不可以。因为左偏树只保证右路径的长度，它的左路径可以任意长，从而如果对一个左路径上的结点向上过滤，最坏的复杂度将是$O(N)$。为了维持一个好的复杂度，左偏树用切除（Cut）来解决Decrease操作：
当Decrease操作应用于结点$X$时，如果它是树根则不需理会，否则将它从它的父亲$F$上切除，原树成为了两个树$T_X$和$T_F$。显然，$T_X$是一个左偏树，但是$T_F$已经不是了，我们需要对它做一些调整。我们知道，如果一个树的左右子树都是左偏树但它本身不是左偏树，那么它只需要交换左右子树，就可以成为左偏树。从而对$T_F$，我们从$F$开始向上改造，只要祖先结点$A$不满足左偏树的性质，就交换它的左右子树。
这个向上改造显然不能一直改造到根，否则与向上过滤没有区别。实际上，我们只需要向上改造至多$\log N$个结点即可。因为（即使经过了切除）$T_F$的右路径总是不长于$\log N$的。当我们向上改造了$\log N$个结点，这条路径就必然长于右路径。由于$F$刚刚被切除子树，它的$npl = 0$，无论$F$在某个祖先的左路径上还是右路径上，这次切除都不会改变更上面的祖先结点的左偏树性质，于是我们就只需要改造至多$\log N$个结点。
这样改造完之后，将$T_X$和$T_F$Merge即可。可见这一操作的复杂度是$O(\log N)$。
这就是左偏树实现Decrease的办法。
2、二项队列的懒惰合并
二项队列的合并是$O(\log N)$的。实际上我们可以将它改造成$O(1)$，只需要执行懒惰合并（Lazy Merge）。具体方法就是：合并二项队列$Q_1$和$Q_2$，只需要将它们的二项树列表连接在一起。这明显是$O(1)$的。
可见，这样做有两个后果：1、新队列不再满足二项队列的性质，这是懒惰合并的必然代价，我们称用上了懒惰合并的二项队列为懒惰二项队列。2、多次合并之后，Pop和Top操作的复杂度将不再是$O(\log N)$的。
对于第二个后果，我们没有直接的解决办法，但我们可以改造Pop（以及Top）的操作，使得它们的摊还复杂度达到$O(\log N)$。改进方法如下：
Pop时，先删除最值结点，把它的子树并到队列里（Top则不需要这步），然后将队列里的二项树按照秩$R$（子树个数）分类。我们就有了若干个数组，每个数组只保存相同秩的若干二项树。之后，从$R=0$开始，不断执行：从数组中取出两个二项树，合并之，将新树放到$R+1$的数组中去，直到$R$数组中的二项树不超过1个，然后对之后的数组继续做此操作，直到懒惰二项队列满足二项队列的性质。
这一操作的摊还复杂度这样来证明：
同样用队列里的树的棵数做位势。假设Pop前$\phi_1 = T$，被删除的结点有$R$棵子树，由于是二项树，有$R = O(\log N)$。一次删除增加了$R$棵树。现在执行二项树的合并。总共有$T+R$棵树，而最后至多剩下$\log N$棵树，从而这一操作的实际时间是$T+R$（如果算上检查则还要加上$\log N$），导致位势变化$\Delta \phi = \log N - T$。从而摊还时间就是$T^* = c \log N + R = O(\log N)$。
值得注意的是，证明告诉我们懒惰二项队列里找到最小节点的复杂度不应该太高，否则摊还界就失效了。由于懒惰二项队列没办法用数组维护而只能用链表，一个较好的方法可能是维护一个指针，每次Insert、Merge和Pop后尝试改变。
二、斐波那契堆
有了前面两个操作为基础，我们就来介绍斐波那契堆。对于堆的经典操作，除了Pop是$O(\log N)$的，其余的操作斐波那契堆都以$O(1)$完成。
从设计的思维来讲，斐波那契堆就是“懒惰二项队列+左偏树切除”。当然，左偏树的切除带来了很多后果：首先，一次切除就把二项树的结构破坏了。这是没办法避免的，因此斐波那契堆里的树甚至不是二项树。更重要的是，各种切除使得斐波那契堆里的树的秩$R = O(\log N)$没办法保证，从而Pop操作的时间复杂度就没有保证了。斐波那契堆用级联切除（Cascading Cut）来解决这两个问题。
不过在介绍具体的办法之前，总而言之，斐波那契堆是这样一种结构：
1、它是一些满足堆序的树的森林；
2、森林里的树并不是二项树，但是它们的合并还遵循二项树的法则：将键值更大的树作为键值更小的树的子树，而且只有秩相同时，两棵树才能合并。我们不妨叫这种树为“斐波那契树”，后面会看到这种命名的意义；
3、斐波那契堆通过级联切除和懒惰合并维持均摊复杂度。
现在来看斐波那契堆的操作：
Merge：斐波那契堆的合并也是懒惰合并，从而时间复杂度是$O(1)$的。
Insert：特殊的Merge。
Decrease：这一操作遵循级联切除。级联切除是这样应用的：
首先，如同左偏树一样，一个被Decrease的结点需要从它的父节点切除，然后直接进入斐波那契树森林中。
之后，对于它的父亲$F$：如果此前$F$没有被切除子树过，那么就给$F$打上标记#；如果$F$曾经被切除过子树（这时它一定有标记#了），那么就把$F$也切除掉（此时$F$的父亲也要打上标记#）。$F$直接进入森林，但是标记#需要去掉：森林里的任何根结点都不能标上标记#（因为它们没法再被切除了）。
对于$F$的父亲，也同样地检查和操作，即若$F$被切除时父亲已经有标记#，则也要切除父亲，直到不需要再切除或到根节点为止。
可以看到这和左偏树的向上改造有些类似，都是向上对祖先的检查。正因此，这一操作的时间复杂度没法直接保证，后面和Pop一起，我们介绍它的摊还复杂度。
Pop和Top：类似懒惰二项队列。同样，复杂度仍需要摊还分析。
在进行摊还分析之前，我们先来介绍两个引理：
引理1：一棵斐波那契树$X$的第$i$年轻的子树$C$的秩至少是$i-2$。其中第$i$年轻表示它是第$i$个被并入的，秩即子树棵数。
证明：由于斐波那契树的合并也需要遵循同秩的原则，因此当$C$并入$X$时，由于$X$已经有了至少$i-1$、至多$i$棵子树，从而$C$的秩至少是$i-1$。从此之后，$C$只能被切除子树1次，否则它将会被从$X$切除，从而就不会是$X$的儿子了，因此$C$的秩至少是$i-2$。定理得证。
引理1是引理2的引理：
引理2：一棵秩为$R$的斐波那契树$X$，它的大小至少是$F_{R+1}$，其中$F_i$指斐波那契数列第$i$项。
证明：我们设$S_R$是秩为$R$的斐波那契树大小的最小值。显然，$S_0 = 1$、$S_1 = 2$。对于$S_R$，它一定有$R$棵子树，从而有第$0,1,...,R-1$年轻的子树。由于引理1，它一定有秩（至少）为$0,1,...,R-2$的子树，注意这里只枚举了$R-1$项，所以它还有一棵大小至少为$1$的子树，算上树根，因此有：
$S_R = 1+1+ \sum_{i=0}^{R-2} S_{i}$
由于$S_R - S_{R-1} = S_{R-2}$，而首项又符合要求，则$S_R = F_{R+1}$。从而引理2得证。
引理2是斐波那契堆的命名来源。
现在来分析Decrease和Pop的摊还复杂度：
如果还令位势函数为树的棵数，显然无法分析了。我们希望Decrease是$O(1)$的（这是斐波那契堆这么复杂的结构存在的几乎全部意义），但它的实际时间显然达不到$O(1)$。注意Decrease操作减少了很多标记#，但是又增加了树，所以位势函数定义如下：$\phi = T + 2L$，其中$T$是树的棵数，$L$是标记数。容易看到$\phi_0 = 0$，而任意时刻位势非负，因此位势函数可以应用。
Decrease分析：假设级联切除总共切除了$c$次。每一次都增加了一棵树；除了第一次和最后一次，每一次都消去一个标记；最后一次可能会增加一个标记。那么位势变化的上界即
$\Delta \phi = - 2(c-2) + c$
算上切除的时间$c$，从而摊还复杂度$T^* = c + \Delta \phi = 4 = O(1)$。
Pop分析：从懒惰二项队列的分析得知，这种Pop的摊还复杂度一定是$c \log N + R$。更换了位势函数后，由于Pop操作不会增加标记个数（标记只能是因为Decrease操作的切除而增加），因此摊还复杂度不会更劣。由于引理2，一棵大小为$N$的树，它的秩至多为$i$，其中$i$满足$F_{i-1} \leq N \leq F_i$。众所周知斐波那契数列以指数增长，因此$R = O(\log N)$。从而Pop的摊还复杂度是$O(\log N)$。
Merge不引起位势的变化，因此分析起来是容易的。
从而斐波那契堆的时间复杂度已经得到证明。只有Pop（包括Top）的复杂度是$O(\log N)$，其余的操作都是$O(1)$。可见它是一个（理论上）极其优秀的堆。
斐波那契堆的理论价值比较大，而实用价值不高。因为我们可以看到，实现它将非常麻烦：首先它应该像二项队列一样记录树的各种信息，而森林应该用链表表示。其次斐波那契树不像二项树，更为混乱，从而它的存储要麻烦很多。但左儿子右兄弟没法全部满足，因为级联切除要向上寻找，所以每个节点还要记录父指针，大量指针会显著降低它的效率。最后，懒惰合并的实现也是一个难点。
由于这些问题，本人就不在此实现斐波那契堆了。
三、配对堆
实践中，配对堆是一种简单的（但不严格的）斐波那契堆。实际经验表示在要求Decrease和Merge的情况下，配对堆的效率与理论中的斐波那契堆相当（甚至好于实际实现的斐波那契堆），但多种分析表明它的复杂度没有这么好。它的过于简单的实现可能是它的优秀表现的主要来源。
由于没有实现斐波那契堆，配对堆我也不打算实现了，但它非常简单。下面将介绍。
配对堆是一棵堆序树（而不是森林）。它是一棵普通的树，不是二项树、斐波那契树或者二叉树、$d$叉树。从而，它的表示要不然是左儿子右兄弟，要不然是邻接表+父指针这类存储。但这不会影响它的效率。
配对堆的操作是这样的（以小根堆为例）：
Merge：两棵配对堆$H_1$和$H_2$合并，不妨设键值$H_1 \leq H_2$，那么令$H_2$成为$H_1$的子树即可。显然实际复杂度是$O(1)$。
Insert：特殊的合并。
Decrease：如果一次Decrease没有改变堆序，则不予理会；否则将这棵子树切除，并与原来的堆合并。显然也是$O(1)$。
Top：返回堆顶即可。也是$O(1)$。
前面的操作十分简单，都是$O(1)$，但大家可能看到，这根本没有做任何维持复杂度的努力。其实，在Decrease中，切除操作是需要一些方法的：将$u$从$f$切除，我们只是把$u$的父指针置为$NULL$，但不把它从$f$的儿子中删去。因为$f$的儿子有可能很多，去删除是比较浪费的。只有当需要遍历$f$的儿子（比如$f$作为根被删除了），我们才检查，是否存在之前已经被切除过的“假儿子”。
这一操作显然只能维持这一次Decrease的复杂度。至于整体的复杂度，我们还是像斐波那契堆一样，将希望寄托在Pop上：
Pop：删除堆顶，将堆顶的所有儿子（不包括假儿子）记入队列里，然后把它们合并成一棵堆序树。
这里合并的方法就十分讲究。如果方法不好，Pop操作的复杂度就退化为$O(N)$，但即使方法很好，也没法证明它的均摊复杂度，只是实践经验中，它的效率很好，好到了$O(\log N)$级别而已。实践中的一种好方法是配对合并，这也是配对堆的命名来源：
对于队列里的树$T_1$到$T_N$，我们先从左往右遍历，两两配对合并，即$T_1$与$T_2$合并、$T_3$与$T_4$合并……如果$N$是奇数，在$T_{N-2}$与$T_{N-1}$合并后，再与$T_N$合并一次。这样队列里就只剩下一半的树，我们记作$D_1,D_2,...,D_M$。之后我们从右往左合并，令$D_M$与$D_{M-1}$合并，然后合并的结果再与$D_{M-2}$合并……直到只剩一棵树。
若原树有$T$棵子树，那么新树的子树至多为$T/2-1$，好的时候能到$\log T$，但不管怎么样，证明依然困难。上面的方法叫两趟合并。另一种方法就是不断配对合并，这样能保证儿子数是$\log T$。
有人认为Decrease由于增加了根的子树，摊还复杂度应该是$O(\log N)$。另外一些摊还分析给出了更严格的但是很复杂的界，而且与实践经验不是太相符。总而言之，复杂度的证明很困难。
以上就是两种更优秀的堆。其中一种很复杂，而另一种很简单。简单的数据结构当然不必然是劣的，这是我们需要明白的。
