数学分析（二）预习——3、定积分的基本性质

3、定积分（3）：基本性质

　　解决了可积性问题，这一篇来介绍除定积分中值定理外的基本性质。

一、运算性质

1、线性性：设$f$、$g \in R[a,b]$，$\alpha$、$\beta \in R$，则有

$\int_{a}^{b} [\alpha f(x) + \beta g(x)]dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx$

2、可乘性：设$f$、$g \in R[a,b]$，则$fg \in R[a,b]$。

证明：由定义，$f$、$g$均有界，则它们有共同界$M$。由于可积，则对于任意$\epsilon > 0$，存在分割$\Delta$，使$f$、$g$的振幅面积都有

$\sum_{i=1}^{n} \omega_i \Delta x_i < \frac{\epsilon}{2M}$

在每个小区间上，有

$| f(x_1)g(x_1) - f(x_2)g(x_2) |$

$\leq | f(x_1)g(x_1) - f(x_1)g(x_2) | + | f(x_1)g(x_2) - f(x_2)g(x_2) |$

$\leq M \omega_i (f) + M \omega_i (g)$

因此$fg$的振幅面积就有

$\sum_{i=1}^{n} \omega'_i \Delta x_i \leq 2·M · \frac{\epsilon}{2M} = \epsilon$

可积性就得到了证明。

注意，这里只是证明了可积，但没有如线性性般给出积分的值。

上面两条性质告诉我们可积性在加减法、乘法下是保持的，但是除法不一定保持；复合也是不一定的。不过关于复合函数仍有以下性质：

 3、设$g \in R[a,b]$，$f \in C(I)$，其中$I$是$g$在$[a,b]$上的值域，则$f(g) \in R[a,b]$。

证明是容易的，依靠$f$的一致连续性，加上$g$在区间上的振幅随$\lambda(\Delta) \to 0$而趋于$0$即可。

关于绝对值运算有下面的性质：

4、设$f \in R[a,b]$，则$|f| \in R[a,b]$，且有

$| \int_{a}^{b} f(x) dx | \leq \int_{a}^{b} |f| dx$

证明：事实上，在任何区间上，$|f|$的振幅都不会超过$f$的振幅，由此可积性立刻得到证明。至于性质的后半部分，考虑两者在$\Delta$下的任意黎曼和，我们有：

$| \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i | \leq \sum_{i=1}^{n} | f(\xi_i) | \Delta x_i$

性质也得到了证明。

二、积分性质

　　讨论下面的性质之前，做一个一般性的规定：对任意$f$、$a$，规定$\int_{a}^{a} f(x) dx = 0$。

1、设$a <c < b$，则$f \in R[a,b]$的充分必要条件为$f \in R[a,c]$且$f \in R[c,b]$。可积时，我们有

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$

先来证明前半部分：

必要性：尝试去证明$f$在$[a,b]$的任意子区间$[l,r]$上也是可积的。事实上，由于可积，对任意$\epsilon > 0$，存在一个分割$\Delta$，使得$f$关于其的振幅面积小于$\epsilon$，则在$[l,r]$上，这一振幅面积同样也小于$\epsilon$，必要性也就得到了证明。

充分性：对于任意$\epsilon > 0$，当然存在$[a,c]$的一个分割$\Delta_1$、$[c,b]$的一个分割$\Delta_2$，使得$f$关于两者的振幅面积都小于$\frac{\epsilon}{2}$，记$\Delta = \Delta_1 \cup \Delta_2$，就有了$f$关于$\Delta$的振幅面积小于$\epsilon$，充分性也得到了证明。

关于后面的积分等式，只要在充分性证明的基础上，对$\Delta_1$、$\Delta_2$取黎曼和即可。

如果我们不规定$c$的位置，只是规定$f$在任意一个涉及到的区间上可积，然后做下面形式上的规定：

$\int_{b}^{a} f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx$

则性质也可以成立。

2、若$f \in R[a,b]$，且总有$f(x) \geq 0$，则$\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$。

证明是容易的，只要考察黎曼和的正负性即可。

这一性质可以推出：若$f$、$g \in R[a,b]$，且总有$f \geq g$，则$\int_{a}^{b} f(x) dx \geq \int_{a}^{b} g(x) dx$。只要对$f-g$考察积分，再利用线性性即可。

性质2有一个互补的版本：

3、若$f \in R[a,b]$，$\int_{a}^{b} f(x) dx > 0$，则存在$[a,b]$的子区间$[c,d]$，以及$\mu > 0$，使得在$[c,d]$上总有$f(x) \geq \mu$。

证明：用反证法，假设不存在这样的子区间和正数，则对$[a,b]$的任意子区间$[c,d]$、$\mu > 0$，总存在$\xi \in [c,d]$，使$f(\xi) < \mu$。对$f$的任意分割$\Delta$，其每个小区间上的介点都取这样的点，根据$\mu$的任意性，得到的黎曼和非正，则只能有$\int_{a}^{b} f(x) dx \leq 0$，这与前提是矛盾的。

除了反证法，上一节的达布理论也可以用来证明这一性质（而且几乎直接可得）。

有了性质3，性质2还可以加强：

4、若$f \in R[a,b]$，且总有$f > 0$，则$\int_{a}^{b} f(x) dx > 0$。

证明：看上去是显然的，然而证明起来不太容易。用反证法假设。由于性质2已经得到证明，反证法假设即是：$\int_{a}^{b} f(x) dx = 0$。对于任意的$\epsilon > 0$，函数$g(x) = \epsilon - f(x)$在$[a,b]$上的积分是$\epsilon(b-a) > 0$，由于性质3，则有一个子区间$[c,d]$，使得$\epsilon - f > 0$，由于$\epsilon$的任意性，可以知道$\int_{c}^{d} f(x) dx = 0$。

下面，令$\epsilon_1 = \frac{\epsilon}{2}$，对$[c,d]$重复上面的过程，又找到一个子区间$[e,h]$，不断进行下去，就由于闭区间套定理，得到一个点$\xi$，使得$f(\xi) \leq 0$，这与前提是矛盾的。

上面的闭区间套定理的方法还可以用来证明：

5、若$f \in R[a,b]$，则存在$x_0 \in (a,b)$，使$f$在$x_0$处连续。

证明：只要构造一个闭区间套趋向某个区间内点，由于区间长度趋于$0$，则根据可积性，在其上的振幅$\omega \to 0$，进而推出$f$在$x_0$连续。

　　以上就是关于定积分的若干基本性质。