数据结构与算法复习——2、递归分析入门

2、递归分析入门

一、引例

　　上一篇介绍的最长子序列和问题的分治算法的分析中，提出了一个递推式，我们没有求解该递推式的上界。实际上，我们经常在递归算法的分析里遇到递推式，很显然这是由于递归本身的结构决定的。这一篇我们就简单地介绍一下怎么做分治算法下的递归分析。实际上递归有多种情况，除了分治算法，比较常见的还有搜索，这就不在本篇的讨论范围之内。

　　在分析分治算法之前，先来分析一个不太“优”的递归算法。看下面的求解斐波那契数列第$N$项的算法：

int Fib(int N) {
    if (N == 0 || N == 1)
        return 1;
    return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

 这个算法经常被当作递归的“反面教材”，因为它的冗余递归太多：求解$Fib(N-1)$时，实际上已经求了$Fib(N-2)$，可是后面又调用了一次。这个算法有多坏呢？我们建立下面的关于这个算法时间上界的递推式：

$T(0)=T(1)=1$

$T(N)=T(N-1)+T(N-2)$

可以很容易就发现$T(N)=Fib_N$，也就是时间以斐波那契数列级增长。斐波那契数列有很多研究，譬如前后两项之比的极限是黄金分割比$\Phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$，这告诉我们这个算法的时间是指数级增长！指数增长一般是难以忍受的，常见情况里仅快于阶乘增长。可见上面这个算法有多差。

　　上面的分析已经告诉了我们怎么做递归分析，就是求其时间上界数列的递推式，从递推式里求解通项公式或者至少知道增长等级。这个算法一旦优化就不适合递归了，因此这里就不对它进行优化了。下面我们分析一个经典的分治递归算法。

二、归并排序分析

　　排序算法是非常重要而基础的，我们有好多种排序算法，而不管怎么考虑，归并排序都一定是其中最经典的之一。简要来说，归并排序的思路是这样的：递归地求解，假设我们已经有了两个排好序的$N$项序列，把它们合并成$2N$项的有序序列就好了。至于这两个序列的来源，我们可以把它们等分成两部分，让这两部分是各自排好序的，然后合并；可见这个过程应该递归下去。这个递归当然有基本情况：$N=1$时，无需再分即有序。归并排序的主算法可以这样实现：

void merge_Sort(int A[], int l, int r) {
    if (r - l > 1) {
        merge_Sort(A, l, (l + r) / 2);  //分治
        merge_Sort(A, (l + r) / 2, r);
    }
    _merge_sort(A, l, (l + r) / 2, r);  //归并
    return;
}

其中第6行的归并函数的某种实现方式如下：

int tempL[MXN], tempR[MXN];  //归并排序的临时数组

void _merge_sort(int A[], int l, int mid, int r) {  //归并步骤
    for (int i = l; i < mid; i++) tempL[i - l] = A[i];  //将两侧的数记入临时数组
    for (int j = mid; j < r; j++) tempR[j - mid] = A[j];
    tempL[mid - l] = tempR[r - mid] = 0x7fffffff;
    int cnt = l, i = 0, j = 0;
    for (; l + i < mid && mid + j < r;cnt++) {  //比较归并
        if (tempL[i] <= tempR[j]) A[cnt] = tempL[i++];
        else A[cnt] = tempR[j++];
    }
    while (l + i < mid) A[cnt++] = tempL[i++];  //余项归并
    while (mid + j < r) A[cnt++] = tempR[j++];
    return;
}

当然归并排序的主算法和归并函数有很多种实现和优化的方式，这里就不展开了，但是总之，归并函数的时间复杂度上界不可能低于$O(N)$。

下面我们就可以来分析归并排序的时间复杂度。根据主算法，写出它的时间上界的递推式：

$T(N) = 2T(N/2) + N$

为了方便分析，我们首先假设：$N = 2^k$，这样$N/2$就有一直都是有意义的。这种情况下，我们有两种处理方式：

1、做这样的变换：

$\frac{T(N)}{N} = \frac{T(N/2)}{N/2} + 1$

可见$\{ \frac{T(2^k)}{2^k} \}$是一个关于$k$的等差数列，又由于$\frac{T(1)}{1} = 1$，我们就可以求出：

$\frac{T(N)}{N} = k + 1 = \log N + 1$

$T(N) = N \log N + N = O(N \log N)$

这是第一种分析方法。

2、第二种分析方法比较“暴力”：有下面两个式子：

$T(N) = 2T(N/2) + N$

$T(N/2)=2T(N/4)+N/2$

代入得：

$T(N) = 4T(N/4)+2N$

不断代入，直到最后得到：

$T(N) = 2^k T(1) + kN = N + N \log N = O(N \log N)$

这就是第二种分析方法。

上面我们假设了$N=2^k$，如果不是这样的呢？通过刚刚的分析我们知道，只要$N = p2^k$，我们就可以把求解$T(N)$转化成求解$T(p)$，因此我们下面只分析奇数的情况。

为了得到相同的结论，我们设$N = 2^k + m, 0 \leq m < 2^k$，做数学归纳法：

1°  首先，$k=0$的特殊情况，我们有$T(1) = 1$；$k = 1$时，我们有

$T(2) = 2T(1) + 2 = 4 = N \log N + N$、$T(3) = T(1)+T(2) + 3 = 8 = N \log N + N$

（当$\log N$不是整数时我们向上取整，下面我们将看到最后一个约等号写成等号是不影响上界的，因为$2$是$2$的幂，它的$\log N$不需要向上取整，但统一向上取整仍得到一个上界）；

2°  然后归纳假设对$0 \leq k < n$，对任意的$m$，都成立$T(N) = N \log N + N$，那么在$N = n = 2^n + m$时（$m$仍然是任意的）：

若$m$是偶数，我们就有：$T(N) = 2T(2^{n-1} + m/2) + N$，根据归纳假设就有：

$T(N) = 2[n(2^{n-1}+m/2) + 2^{n-1} + m/2] + N$

$=(n + 1)(2^n + m) + N$

$=(n + 1)N + N = N \log N + N$

若$m$是奇数，不妨设$m = 2q+1$，则有$T(N) = T(2^{n-1} + q) + T(2^{n-1}+q+1) + N$，根据归纳假设就有：

$T(N) = n(2^{n-1}+q) + 2^{n-1} + q + n(2^{n-1} + q + 1) + 2^{n-1} + q + 1 +N$

$=n(2^n + 2q + 1) + 2^n +2q + 1 + N$

$=(n + 1)N + N = N \log N + N$

至此根据数学归纳法原理，得证$T(N) = N \log N + N = O(N \log N)$。

以上就是解决分治算法的时间复杂度的思路。可以看到如果除了分治步骤，其余的步骤是$O(N)$的话，一般就会成为$O(N \log N)$。如果不是，则要另行分析。