数学分析（二）预习——1、定积分（1）
数学分析（二）预习
零、数分（二）预习准备
预习数分（二）主要使用：
伍胜健《数学分析（第二册）》北京大学出版社
谢惠民等《数学分析习题课讲义》高等教育出版社
[俄]卓里奇、李植译《数学分析（第7版）》高等教育出版社
1、定积分（1）：定积分定义与微积分基本定理
一、定积分的定义
第一学期学过了不定积分，现在来学习定积分。定积分的研究动力、几何意义等，都比较耳熟能详，就不再赘述。下面直接给出定积分的定义：
定义：分割、黎曼和
若函数$f$定义在一个区间上$[a,b]$，称$\Delta : a=x_0<x_1<...<x_{n-1}<x_n=b$为区间的一个分割。对于这个分割，记$\Delta x_i = x_i-x_{i-1}, i=1,2,...,n$，并记$\lambda(\Delta)= \max \{ \Delta x_i \}$为这个分割的细度。特别的，如果每个$\Delta x_i$都是同一个常数$\frac{b-a}{n}$，则称$\Delta$为一个等距分割。
在每个$[ x_{i-1}, x_i]$上任取一点$\xi_i$，这些点的集合称为介点集。称每个$x_i$构成的集合是分点集。称求和式$ S_n = \sum_{i=1}^n f( \xi_i ) \Delta x_i$为函数$f(x)$关于分割$\Delta$的黎曼和。
定义：定积分（黎曼）
用$\epsilon - \delta$语言描述定积分：设$f$在$[a,b]$上有定义，若存在实数$I$，使得对任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使对区间$[a,b]$的任何一个分割$\Delta$，当$\lambda(\Delta) < \delta$时，这个分割的任何一个黎曼和$S$都满足：$|S-I| < \epsilon$，则称函数$f$在这一区间上黎曼可积，$I$为其定积分。
该定义的另一种描述：如果当分割有$\lambda(\Delta) \to 0$时，黎曼和存在不依赖于$\xi_i$的选取的极限$I$，那么就是黎曼可积。
这时，我们记$I=\int_{a}^{b} f(x) dx$。然后用$f \in R[a,b]$表示函数$f$黎曼可积。
可以看出，定积分是一种和式的极限，只与$f$和区间有关。这种和式的极限与序列极限或函数极限不太相同，因为在$\lambda(\Delta) \to 0$的过程中，分割的选取和$\xi_i$的选取都是任意的。但是这不影响极限的一些基本性质。例如唯一性：
若假设函数$f$在$[a,b]$上存在两个黎曼积分$J_1、J_2$，那么也就有对任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使
$|S-J_1|<\frac{\epsilon}{2}$
$|S-J_2|<\frac{\epsilon}{2}$
同时成立，这样就有
$|J_1-J_2|=|J_1-S+S-J_2| \leq |S-J_1|+|S-J_2| < \epsilon$
令$\epsilon \to 0$就有$J_1=J_2$。
二、连续函数可积性
由上面的定义我们会想到，函数并不一定是可积的。但我们有如下定理：
设$f \in C[a,b]$，则$f \in R[a,b]$。
定理的证明思路，是直接寻找到函数$f$的定积分。而寻找的方法就是利用一致连续函数的有界性。完整的证明如下：
首先我们来找到一个可能是函数定积分的值：
考虑取消掉黎曼和中的两个任意性，取等距分割$\Delta_n$，并令$\xi_j = x_j$，这样就得到了一个特殊的黎曼和：$S_n = \sum_{j=1}^n f(x_j) \frac{b-a}{n}$。这个黎曼和序列有无极限？
如果我们设$m,M$分别是函数$f$在$[a,b]$上的最小、最大值，另对任意分割$\Delta$，设$m_i,M_i$是区间$[x_{i-1},x_i]$上的最小、最大值（由于$f$在闭区间上的连续性我们总可以找到），就有估计：
$m(b-a) \leq \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i \leq \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \leq \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i \leq M(b-a)$
这样$\{ S_n \}$就是一个有界序列，就可以找到一个收敛子列$\{ S_{n_k} \}$使得其有极限$S$。
找到了一个极限值，我们可以尝试去证明这就是函数的定积分。只要重新引入两大任意性，证明任意黎曼和与$S$的距离趋于0即可：
对于任意分割，考虑闭区间上连续函数的一致连续：任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使任意$x' ,x'' \in [a,b]$，只要$| x' - x''| < \delta$，就有$| f(x') - f(x'') | < \epsilon$。
把上面的$\epsilon$改成$\frac{\epsilon}{4(b-a)}$，这样只要分割满足$\lambda(\Delta) < \delta$，就有黎曼和有界：
$ \sum_{i=1}^n (M_i - m_i) \Delta x_i < \frac{\epsilon}{4}$。
对上面找到的子序列，存在$K > 0$，使$n_k > 0$时，使条件$\lambda(\Delta_{n_k}) < \delta$和$|S_{n_k} - S| < \frac{\epsilon}{2}$同时成立。取定$n_0$。
则任意黎曼和，与如下估计：
$| \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i -S| \leq | \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i - S_{n_0}| + |S_{n_0} - S| $
$< |\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i - \sum_{i=1}^n f(x_j) \frac{b-a}{n_0}| +\frac{\epsilon}{2}$
对于最后剩余的两个黎曼和之差，我们将$\Delta '$记为$\Delta$和$\Delta_{n_0}$的并（即分点集之并构成的分割），这样就有$\lambda(\Delta ') < \delta$，且有
对$\Delta$：$| \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i - \sum_{k=1}^{n'} f(\xi'_k) \Delta x'_k| \leq \sum_{i=1}^n (M_i-m_i)\Delta x_i < \frac{\epsilon}{4}$
对$\Delta_{n_0}$有同样的估计：$|\sum_{i=1}^n f(x_j) \frac{b-a}{n_0} - \sum_{k=1}^n f(\xi'_k) \Delta x'_k| < \frac{\epsilon}{4}$
估计是来源于$\Delta$、$\Delta_{n_0}$都是$\Delta'$的子集，这样两者相减实际上在每个$[x_{i-1},x_i]$上（由于连续函数的介值定理，$\Delta'$的黎曼和的项可以合并）构成了一些作差。
两个估计代入原来的不等式，就有$| \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i - S| < \epsilon$。这样就证明了函数可积，而且定积分就是$S$。
三、微积分基本定理
上面的证明过程已经让我们发现用定义来求定积分是一件非常痛苦的事情。实际上牛顿和莱布尼茨早已证明下面的微积分基本定理的内容，可以极大地帮助定积分的计算：
若函数$f$在区间$[a,b]$上有定义，而且既可积又有原函数$F$，则满足：
$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b)-F(a)$
公式的证明思路很简单，由于$f$已经可积，我们找到一系列$\lambda(\Delta) \to 0$的黎曼和，使得$F(b)-F(a)$等于这些黎曼和就可以了。而将原函数和导函数联系起来，自然要用到微分。证明如下：
首先对任意分割$\Delta$：$a=x_0<x_1<...<x_n=b$，有：
$\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \to \int_{a}^{b} f(x)dx, (\lambda(\Delta) \to 0)$
另外，$F(b)-F(a) = F(x_n)-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})-F(x_{n-2})+...+F(x_1)-F(x_0)$。由于$F$可微，在每个$[x_{i-1},x_i]$上应用微分中值定理：
$F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n (F(x_i)-F(x_{i-1}))=\sum_{i=1}^n f(\xi'_i) \Delta x_i$
可以看到对任意分割，我们都可以找到一个黎曼和，使得$F(b)-F(a)$等于这个黎曼和。这样令$\lambda(\Delta) \to 0$，就有$F(b)-F(a) = \int_{a}^{b} f(x)dx$。
微积分基本定理的以上内容称为牛顿-莱布尼茨公式，对定积分的求解非常重要。实际上微积分基本定理还有一些内容（如原函数存在定理），留待预习变限积分时说明。
