高等代数（二）预习——1、环与多项式
高等代数（二）预习
第一个寒假开始了，由于寒假延长，因此有了一些机会做一些学习的工作。原本预定下周一开始，不过今天（2021.1.22）是周五，先预热一下也不差。
零、高代（二）预习准备
预习高代（二）主要使用：
丘维声《高等代数（第三版）》下册.高等教育出版社
清华同学赠送的资料《线性代数入门》
1、环与多项式
一、准备：多项式
代数学中，多项式是一个重要而基本的课题。多项式的基本定义是：
取定非负整数$n$、数域$K$上的$n$个系数$a_n,a_{n-1},...,a_0$，和一个不属于$K$的符号$x$，那么表达式
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$
称为数域$K$上的一个一元多项式。$x$在这里称为不定元。如果每个$a$都是$0$，则称为零多项式。数域$K$上的所有多项式的集合记为$K[x]$。
多项式的一个最重要的性质是：两个多项式相同，当且仅当其各次项的系数都相同（不含某次则认为系数是0）。有些具体的多项式形式的式子并不具有这个性质，譬如
$-i^3+i^2+\frac{1}{2} = i-\frac{1}{2} , i=\sqrt{-1}$
可见等号的左右两侧都是$i$的一个多项式形式的式子。
多项式的次数定义为其次数最大的系数非零项的次数（此时称为首项），记为$\deg f$。特别地定义零多项式的次数是$-∞$。
多项式可以定义加法和乘法运算，这些可以从以前学过的数学中继承。这样，多项式的次数就满足如下规律：
$\deg (f+g) \leq \max\{\deg f, \deg g\}$
$\deg fg = \deg f + \deg g$
二、环
定义出多项式之后，我们发现在$K[x]$上，多项式具有熟悉的性质：
1° 加法交换律；
2° 加法结合律；
3° 零元存在，即存在一个多项式$0$，使得任意一个多项式$a$，满足$0+a=a+0=a$；
4° 负元存在，即对于每个多项式$f$，存在一个多项式$f'$，使得$f+f'=f'+f=0$，这时记$f'=-f$；
5° 乘法结合律；
6° 乘法对加法的左右分配律。
这些性质非常美妙，实际上我们曾经见过的整数集$Z$，甚至$n$级矩阵的集合$M_n(K)$，都具有这6条性质。这告诉我们，这6条性质不一般，我们希望抽象出一个结构专门研究这6条性质。这就是环。不过在做这种抽象之前，先来定义任意集合上的运算：
设存在非空集合$S$，任意一个映射：$\sigma : S \times S \to S$ 称为$S$上的一个代数运算。
现在来定义环：
设存在一个集合$R$，其上有运算1（称为加法），以及运算2（称为乘法），使得这些运算对任意元素满足1°~6°，那么就称$R$为一个环。
这时容易验证环的零元和负元都是唯一的（例如零元，若存在两个零元$0_1$和$0_2$，那么有$0_2+0_1=0_1+0_2=0_1=0_2$）。
因为任意元素有负元，我们还可以定义$R$上的减法：$a-b:=a+(-b)$。
为了把矩阵包括进环里，我们只要求了6条性质，但除了这6条性质，多项式其实还具有一些额外的性质：
7° 乘法交换律。如果一个环还具有乘法交换律，则称这个环是交换环。
8° 单位元存在（即零次多项式1）。 如果一个环存在对乘法的单位元（任意$a$，$ea=ae=a$），就称其为有单位元的环。单位元的唯一性也很好验证。
9° 无零因子，因而存在乘法消去律。
零因子的定义如下：若环中存在非零的$a$、$b$，使得$ab=0$（$ba=0$），则称$a$为左（右）零因子，统称零因子。
由一中给出的多项式乘法和度数的关系，两个非零多项式之积必非零，也就是$K[x]$不存在零因子。那么就存在消去律：
若存在等式$fg=fh$，且$f$非零，则$g=h$。
无零因子的交换环称为整环。$K[x]$是整环，$M_n(K)$不是整环。
10° 零次多项式存在逆元（即对零次多项式$a$，存在$a'$，使$aa'=a'a=1$，其中$1$是单位元）。同样用度数公式可以验证，只有零次多项式才有逆元。
7~10这4条性质是额外的，环不必需，但拥有它们的环的性质非常好。
还可以知道，除了整数集是一个环，任意数域也都是这样的环。
从整数环的讨论中可以发现，偶数集$2Z$也是一个环，这样我们还有子环的概念：
如果环$R$的一个子集$R_1$，也对$R$的加法和乘法（不妨记成$+_R$、$·_R$）满足性质1~6，则称$R_1$是$R$的子环。
如果环$R_1$是环$R$的子环，那么$R_1$的加法和乘法就是$+_R$、$·_R$，而且对$R_1$的任意两个元素做加法和乘法，结果也在$R_1$内（实际上从运算的定义可以得知），这样$R_1$就对$+_R$、$·_R$封闭。
环的加法和乘法通过分配律联系起来了，这是一个极其重要的规律。可以验证这样一个非常基本的性质$0a=a0=0$：
只要有$0a=(0+0)a=0a+0a$
两边加上$-0a$：$0=0a+0a+(-0a)=0a$
就验证完成。
类似的还可以验证已经熟悉了的$a(-b)=(-a)b=-ab,(-a)(-b)=ab$。
三、环同构、多项式通用性质
从刚刚的多项式定义里，我们发现了一个事实：实际上所有零次多项式和零多项式构成的集合$K[x]_0$，就是数域$K$，也是$K[x]$的一个子环。如果说我们定义一个映射：
$\sigma : K[x]_0 \to K$，将零次多项式和零多项式直接映射成相应的数，则可以验证这个映射是一个双射，而且保持加法和乘法，即：
$\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b)$
$\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$
这样我们可以发现，$K[x]_0$和$K$有完全一样的结构。如果两个环之间存在这样的双射，我们就说它们同构，这个映射就叫环同构映射。
学习矩阵的时候，我们发现可以进行这样的运算：
$(I-A)(I+A)=I^2-AI+IA-A^2=I-A^2$
这和多项式运算不谋而合：
$(1-x)(1+x)=1-x^2$
我们希望可以使得第一个矩阵式中的运算省去中间的一步。可不可以呢？实际上是可以的，这是因为多项式环有这样的称为通用性质的性质：
如果存在单位元的交换环$R$的某个子环$R_1$，存在数域$K$到$R_1$的同构映射$\sigma$（这时可以说$R$是$K$的扩环），那么这样定义（其中$t$是$R$中的元素）：
$F_t:K[x] \to R$
$f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i \to \sum_{i=0}^n \sigma(a_i)t^i := f(t)$
由于多项式的表示法唯一，而且$\sigma$是一个映射，则可以验证$F_t$是一个映射，而且由于$R$是一个交换环，则$F_t$保持加法和乘法。这个时候，已经可以见到上面的矩阵代入是成立的，只要将数域$K$的数映射到相应的数量矩阵就可以了。这种时候，我们称$F_t$是多项式环：$x$用$t$代入。
这里我们发现从数域$K$到环$R_1$的同构映射至少要存在单位元之间的映射，否则不可能同构（这也是为什么要求$R$存在单位元）。事实上有一个性质：从数域$K$到某个环$R$的环同构映射，一定将$1$映射成单位元。
另外需要注意，多项式利用通用性质代入只能代入一个元素，譬如我们不能证明$M_n(K)$上有乘法交换律，不能在两个不同的多项式之间做通用运算。但只代入一个元素$A$，形成一个矩阵多项式集合$K[A]$，这个集合确实可以利用通用性质，也成为一个有单位元的交换环。
多项式环的通用性质非常重要，有了这个性质，我们研究一般的多项式就可以了，像矩阵这样的问题，直接代入即可。
我们立刻可以应用这个性质：用这个性质，可以验证矩阵特征值的多项式运算。即：若$\lambda$是$A$的特征值，$f$是一个多项式，则$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值。
