[BZOJ2190][SDOI2008]仪仗队 数学

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2190

看到这道题首先想到了NOI2010的能量采集，这不就是赤裸裸的弱化版吗？直接上莫比乌斯反演就行了。

令$f(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)==d]$

则有$g(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[d|gcd(i,j)]=\frac{n}{d}\frac{n}{d}=\sum_{d|n}f(d)$

由莫比乌斯反演得$f(d)=\sum_{d|n}μ(\frac{n}{d})F(n)=\sum_{x=1}^nμ(x)\frac{n}{dx}\frac{n}{dx}$

然而并没有写，因为发现有更简单的做法。

其实我们发现除开对角线单看一半，就是求小于n的x的phi值的和是多少，根据$gcd(a,b)=1$容易观察出来，然后最后加上对角线还有x轴y轴上三个特殊的点就可以了。

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int p[40010],cnt=0;
int phi[40010];
bool vis[40010];
void sieve(){
    for(int i=2;i<=40000;i++){
        if(!vis[i]){
            p[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;p[j]*i<=40000&&j<=cnt;j++){
            vis[i*p[j]]=true;
            if(i%p[j]==0){
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
    }
}
int N;
int main(){
    sieve();
    scanf("%d",&N);
    ll ans=0;
    for(int i=2;i<N;i++) ans+=phi[i];
    ans=ans*2+3;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0; 
}