[Luogu1848][USACO12OPEN]书架Bookshelf DP+set+决策单调性

题目链接：https://www.luogu.org/problem/show?pid=1848

题目要求书必须按顺序放，其实就是要求是连续的一段。于是就有DP方程$$f[i]=min\{f[j]+max\{h_k\}\}$$其中的k以及j的关系应该满足$$\sum_{k=j+1}^iw_k<=L$$

这样是$O(n^2)$的肯定不行。发现对于一个$h[i]$到前一个比它大的$h[j]$之间，都被$h[i]$所影响这，且这些影响某一段区间的关键点是单调下降的，同时发现$f[j]$总不会比$f[j+1]$更劣，证明显然。

于是我们只需要维护这样一个关键点集就可以从中取得最优答案。观察DP方程中的条件限制，发现前面的点可能会被从前往后舍去，而后面的点可以把之前的点给覆盖掉，想到用单调队列维护。

队首元素的删除用$w$的区间和来维护，队尾元素则直接用新加入的$h[i]$不断合并掉就好了。

然后对于每一个当前合法的关键点，我们都需要记录其对应的答案，每次取最小值。不仅需要插入，同时还需要从中删除掉不合法的答案。我们可以用双堆或者平衡树来做，当然set也是可以的。

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
int inline readint(){
    int Num;char ch;
    while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');Num=ch-'0';
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9') Num=Num*10+ch-'0';
    return Num;
}
int n,m;
int h[100010],w[100010],la;
ll f[100010],sum;
int q[100010],head,tail;
bool in[100010];
multiset <ll> s;
//  f[i]=f[j]+max(h[k])  sigma(w[k])<=L  k:i->j+1
int main(){
    n=readint();
    m=readint();
    la=head=q[0]=1;
    tail=sum=0;
    in[1]=true;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        h[i]=readint();
        w[i]=readint();
        sum+=w[i];
        while(sum>m){
            if(in[la]){
                s.erase(f[la-1]+h[la]);
                in[la]=false;
                head++;
            }
            else h[la]=h[la-1];
            sum-=w[la++];
        }
        if(!in[la]){
            h[la]=h[la-1];
            s.insert(f[la-1]+h[la]);
            q[--head]=la;
            in[la]=true;
        }
        q[++tail]=i;
        s.insert(f[i-1]+h[i]);
        in[i]=true;
        while(head<=tail&&h[q[tail]]<=h[i]){
            s.erase(f[q[tail]-1]+h[q[tail]]);
            in[q[tail]]=false;
            tail--;
        }
        h[q[++tail]]=h[i];
        s.insert(f[q[tail]-1]+h[q[tail]]);
        in[q[tail]]=true;
        f[i]=*s.begin();
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}