[BZOJ1025][SCOI2009]游戏 DP+置换群

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1025

题目中的排数就是多少次回到原来的序列。很显然对于题目所描述的任意一种对应法则，其中一定有一个或者多个循环节。

设有$m$个循环节，每个循环节的大小为$A_i$，则回到最开始的序列需要置换$lcm\{A_i\} (i=1->m)$次。

于是问题变成了求$n=\sum_{i=1}^mA_i$，且$lcm\{A_i\} (i=1->m)$各不相同的$\{A\}$有多少种。

我们可以用一种很神的方法。首先可以发现对于任意一个数$A_i$，我们可以把它拆成若干个总和小于等于$A_i$的互不相同的质数，以及若干个1来提供对答案等价的贡献，证明显然。然后就很容易想到用枚举质数，直接把每一个$A_i$用一个质数$pri_i$的$s_i$次方来表示。这样其实就变成了类似于背包的问题，每一个$A_i$和1就是物品，背包容量就是$A_i$的总和，之后就很容易DP了。

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int cnt=0,p[1010];
bool vis[1010];
void sieve(){
    for(int i=2;i<=1000;i++){
        if(!vis[i]) p[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=1000;j++){
            vis[i*p[j]]=true;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
}
int n;
ll f[1010][1010];
void dp(){
    ll ans=0;
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        for(int j=0;j<=n;j++) f[i][j]=f[i-1][j];
        for(int j=p[i];j<=n;j*=p[i])
            for(int k=0;k+j<=n;k++)
                f[i][k+j]+=f[i-1][k];
    }
    for(int i=0;i<=n;i++) ans+=f[cnt][i];
    printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    sieve();
    dp();
    return 0;
}