[BZOJ4709][JSOI2011]柠檬 决策单调性优化dp

 题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4709

我好弱啊QAQ，网上dalao们的题解根本看不懂啊，折腾了几个小时，有一点明白了。

首先要把朴素dp方程退出来。

①题目中说每次从序列的左右选一端取，但是如果你真的照着题目说的这样做我也不知道会怎么样。事实上很明显不管怎么取，最终答案都只跟划分出的是哪几个区间有关。所以不妨从左端开始取。

②如果取一个区间，区间第一个贝壳的大小和最后一个贝壳的大小不一样，那么很明显可以去掉第一个或最后一个贝壳，把他们加入另一个区间贡献答案，而这一次选取的区间本身答案不会变。于是我们每次取一段区间都可以贪心地来取，使得第一个贝壳和最后一个贝壳大小一定相同。

有了这两个准则方程很容易就出来了 $$f[i]=max\{f[j-1]+a[i]*(s[i]-s[j]+1)^2\}$$

其中$s[i]$表示直到第$i$个数$a[i]$出现的次数。

考虑这个式子中的单调性，可以发现$s[i]$是递增的也就是说$(s[i]-s[j]+1)^2$会增大，而且会增大地越来越快。这就说明如果之前有一个$k<j$满足$k$更优，则$k$会永远比$j$更优。

于是对于每一个$a[i]$可以用一个单调栈维护，当栈顶第二个元素比第一个元素更优时，弹出就行了，直到结束时，取栈顶元素作为决策。（不弹出）

但是这样还有一个问题，可以发现，在某些情况下，可能会出现第二个元素劣于第一个元素，但是却第三个元素优于第一个元素，怎么办呢？

对于任意的$j1<j2<i1<i2$，想一想可以发现如果$j1$超过$i1$的时间小于$j2$超过$i1$的时间，那么$j1$超过$i2$的时间也一定比$j2$超过$i2$的时间早。对于求某一个$j$超过$k$的时间，可以用二分来求。这个时候方法就出来了，在将$i$压入栈之前，我们先判断第二个元素超过$i$的时间是否小于第一个元素超过$i$的时间，如果是就弹栈，直到不满足条件，将$i$压入栈中。

这样做就满足了每一个元素超过上一个元素的时间也是单调的。

 

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    Problem: 4709
    User: C20161009
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:444 ms
    Memory:3024 kb
****************************************************************/
 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
int inline readint(){
    int Num;char ch;
    while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');Num=ch-'0';
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9') Num=Num*10+ch-'0';
    return Num;
}
ll f[100010];
int n,a[100010];
int cnt[100010],s[100010];
vector <int> sta[10010];
ll inline cal(int x,int y){
    return f[x-1]+(ll)a[x]*y*y;
}
int beyond(int x,int y){
    int l=1,r=n,ret=n+1;
    while(l<=r){
        int mid=l+r>>1;
        if(cal(x,mid-s[x]+1)>=cal(y,mid-s[y]+1)){
            ret=mid;
            r=mid-1;
        }
        else l=mid+1; 
    }
    return ret;
}
int main(){
    n=readint();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x=readint();
        a[i]=x;
        s[i]=++cnt[x];
        while(sta[x].size()>=2&&beyond(sta[x][sta[x].size()-2],sta[x][sta[x].size()-1])<=beyond(sta[x][sta[x].size()-1],i)) sta[x].pop_back();
        sta[x].push_back(i);
        while(sta[x].size()>=2&&beyond(sta[x][sta[x].size()-2],sta[x][sta[x].size()-1])<=s[i]) sta[x].pop_back();
        f[i]=cal(sta[x][sta[x].size()-1],s[i]-s[sta[x][sta[x].size()-1]]+1);
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}