[BZOJ3156]防御准备 斜率优化DP

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3156

裸的斜率优化，记一下以后复习用吧。

要直接dp很明显应该要倒着dp，很不爽，先把它倒过来。

令$sum[j]=\sum_{i=1}^ji$，于是我们首先推出这样一个方程$$f[i]=min\{f[j]+sum[i-1]-sum[j]-(i-j-1)*j+a[i]\}$$

这样dp复杂度是$O(n^{2})$的，考虑斜率优化。

设$k>j$,且$k$优于$j$，则有$$f[k]+sum[i-1]-sum[k]-(i-k-1)*k+a[i]<f[j]+sum[i-1]-sum[j]-(i-j-1)*j+a[i]$$

整理得$$f[k]-f[j]-(sum[k]-sum[j])+k^{2}-j^{2}+k-j<i*(k-j)$$

把$k-j$直接除过去，得$slope(k,j)<i$，因为$i$是单调递增的，所以只要有一次$k$优于$j$，$k$永远都优于$j$，直接把$j$给T掉就好了。

这样就可以用单调队列来维护。

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF=1LL<<62;
int inline readint(){
    int Num;char ch;
    while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');Num=ch-'0';
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9') Num=Num*10+ch-'0';
    return Num;
}
int n,data[1000010],a[1000010];
ll f[1000010],sum[1000010];
int q[1000010],h,t;
double slope(int k,int j){
    return (double)(f[k]-f[j]-(sum[k]-sum[j])+(ll)k*k-(ll)j*j+k-j)/(k-j);
}
int main(){
    n=readint();
    for(int i=1;i<=n;i++) data[i]=readint();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=data[n-i+1];
        sum[i]=sum[i-1]+i;
    }
    h=t=1;
    f[1]=a[1];
    q[1]=1;
    ll ans=f[1]+sum[n]-sum[1]-n+1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        while(h<t&&slope(q[h+1],q[h])<=i) h++;
        f[i]=f[q[h]]+sum[i-1]-sum[q[h]]-(ll)(i-q[h]-1)*q[h]+a[i];
        ans=min(ans,f[i]+sum[n]-sum[i]-(ll)(n-i)*i);    
        while(h<t&&slope(q[t],q[t-1])>=slope(i,q[t])) t--;
        q[++t]=i;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}