线性筛法（欧拉筛法）求素数 和 质因数分解

时间复杂度O(n)当n比较大时欧拉筛法所用的时间比O(nloglogn)的算法的时间少的会越来越明显

为什么呢?

因为在欧拉筛法中，每一个合数只被访问并将其所对的f[]的值修改了一次。

下面以求n以内质数为例。

for(i = 2; i <= n; i++)
{
    if(f[i] == 0)
    {
        p[++cnt] = i;
    }
    for(j = 1; j <= cnt; j++)
    {
        if(i * p[j] > n)break;因为求n以内质数。
        f[i * p[j]] = 1;
        if(i % p[j] == 0)break;//这句话是关键。这句话保证了一个数被他最大的因数（除自己本身）筛。。。也可以说是被最小的质因数筛。
    }
}

 手推一下可以清晰理解。。。我来写一下。。。。

 

   就比如12是被2  6  筛掉的，而3    4  并没有去筛12       就是因为   

   if(i % p[j] == 0)break;这句话保证了一个数被他最大的因数（除自己本身）筛。

4筛完8   因为4%2==0；   打断当前循环，没有去筛12.

 

延伸一下，既然欧拉筛能保证一个数是被其最小的质因数筛，那么我们就可以利用这一性质来对一个数进行质因数分解

 需要加的就是记录一下被哪个质数筛的。

 if(f[i] == 0)
    {
        p[++cnt] = i;
        s[i]=i;
    }

f[i * p[j]] = 1;
s[i*p[j]]=p[j];


这两处写为这样，s记录的就是一个数的最小质因数，那么分解质因数时只需要不断去除当前数的最小质因数，知道除到1，质因数便分解完了。