可不可以介绍一下“可积系统”这个方向

 

一个可积系统，从结构上讲就是辛流形的拉格朗日纤维化。就是把一个辛流形M变成一个纤维丛p：M——》R，每一个纤维都是拉格朗日子流形，这个纤维化映射p通常称为动量映射。它的分量称为守恒量，守恒量对应的哈密顿流称为守恒流。根据辛几何的知识，拉格朗日子流形的维数是辛流形维数的一半，也等于R的维数，这是由辛结构的非退化性决定的。

可积系统的理论就是对可积系统进行分类，刻画，构造的理论。可积系统有很多自然的来源，力学系统，一些几何结构的模空间。

可积系统后来又发展出量子的版本。

一个通常可积系统的通常构造就是用李代数余伴随方法，李代数的对偶空间是一个预辛仿射流形，李代数的余伴随作用给出一个辛叶分解。这些辛叶上通常都有自然的可积系统。这些可积系统的动量映射其实就是李代数的trace。余伴随方法是一种普适典范的构造可积系统的方法，因为这种方法可以写成lax 对的形式，一旦有了lax对表示，守恒的构造几乎就是平凡的了，因此求解可积系统，基本上就是找到守恒量，基本上就是构造lax表示。这个地方要强调一下，因为所有的李代数都可以嵌入到矩阵李代数中去，所以lax对表示对于余伴随方法是普遍有效的。

这种事情就像是找矩阵的若当标准型，一旦找到若当标准型，矩阵的一些性质就一目了然了。可积也是如此，把可积系统化成标准形式，就是找lax 对表示。

有限维可积系统有一些普适的模型，如hitchin 可积系统（来自几何），CM可积系统（群流形上的量子力学），Sato理论（单变量微分算子的等谱形变），等等。

数学物理里研究更多的是无限维可积系统，就是无限维李代数的余伴随表示，和两维共形场论，两维引力，弦理论，矩阵模型，随机矩阵理论，格点模型等有各种各样的联系。再多的联系，基本框架就是那么简单的一点而已，毫无神秘性而言。

Drifeld把这个系统量子化，就定义了量子可积系统和量子群等数学结构。

当拉格朗日子流形是紧致情形，非退化的纤维就是高维环面，这时候也称之为拉格朗日torus fibeation。有的系统上有不止一个可积系统，如SYZ的镜像对称框架就是两个可积系统。

做方程的也研究可积系统，有些不是严格的可积系统，计算它们的守恒流也很重要。

可积系统有很多有意思的东西，有限维的无限维的，经典的量子的，代数的，几何的，物理的，古典的范畴化的，理论的应用的，结构的算法的，等等。希望大家多提问题，可以刺激我多多解释这个五彩缤纷的领域。

 
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posted @   扬海洋  阅读(11)  评论(0)  编辑  收藏  举报
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