判断一个正整数是否是2的N次方的简洁算法及其证明

在写代码时遇到了“判断一个正整数是否是2的N次方”的问题，不想调用 java.lang 的 Math 类库进行浮点运算，觉得转换为浮点不是个好办法。

遂在网上搜索了一下，发现有人列出来好几种写法，列举几种：

1、通过循环除2；这种方法不值一提，略过；

2、针对32位/64位只有有限个 2 的N次方的常量值，逐个进行比较；额。。。这个也略过；

3、通过正则表达式进行文本匹配，判断是否2的后面都是 0 ；这个绕得更远了。。。

最后，有一种最简洁优雅的写法：(value & (value -1)) == 0;

喔，的确是简洁优雅！！！

不过，等等，接下来有人提出，似乎“所有2的N次方的结果都符合这个表达式”这点很容易证明；

可是如何证明符合条件“(value & (value -1)) == 0”的一定就是 2 的 N 次方呢？（N 是整数且大于等于0）。

想了一下，证明也不难，遂在此记下：

1、首先，记 A = value； B = value - 1；

2、既然 A & B == 0，那么意味着，A和B的二进制形式中，每一位都不相同；（例外的情况只有“两者都是 0” ，否则存在相同位的两个数的按位相与的结果不可能为 0）

3、由于 B = A - 1，即  A > B；基于第2点，A 和 B 每一位都不同，则可以推断出只有两种情况：

　　（1）以二进制形式， A 最高位 1 与 B 的最高位 1 的位数相差 1 ；(x表示后面跟随的位数是 0 位到多位)

　　　　　A: 10xxxxxxx  
　　　　　B: 01xxxxxxx

　　（2）第二种情况就是：A = 1，B = 0；

　　显然第二种情况是符合命题的，因为 N = 0 ，2 的 N 次方的结果为 1 ; 接下来继续针对第一种情况做推导。

4、由于 A 与 B 仅相差1，那意味着在 B 的二进制的末尾加上 1 ，将会连续地向高位产生进位，最终导致 B 的最高位 01 进位为 10 ；

　　注意，二进制形式中，能够“连续向高位产生进位”的情况只有一种，即 xxxxxxx 全部都是 1 ，也就是说 B 的全部是 1 ; 

　　由此，基于第2点，A 和 B 的每一位都不同，那么 A 除了最高位 1 之外，所有低位都是 0 ；

由此证得命题！