MATLAB中矩阵与数组的区别,点运算符的运用

 正如matlab（矩阵实验室）这个名字一样，matlab的数据结构只有矩阵（array）一种形式（可细分为普通矩阵和稀疏矩阵）。

单个的数就是1*1的矩阵；
数组或向量就是1*n或n*1的矩阵。
事实上对于matlab来说数、数组或向量和二维矩阵在本质上没有任何区别，他们的维数都是2，一切都是以矩阵的形式保存的。

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一维数组相当于向量，二维数组相当于矩阵，所以矩阵是数组的子集。

1.数组的运算是指数组对应元素之间的运算,也称点运算.

2.矩阵是一个二维数组，所以矩阵的加、减、数乘等运算与数组运算是一致的。

3.矩阵的乘法、乘方和除法有特殊的数学含义，并不是数组对应元素的运算.
但有两点要注意：
(1)对于乘法、乘方和除法等三种运算，矩阵运算与数组运算的运算符及含义都不同：矩阵运算按线性变换定义，使用通常符号；数组运算按对应元素运算定义，使用点运算符；
(2)数与矩阵加减、矩阵除法在数学是没有意义的，在MATLAB中为简便起见，定义了这两类运算。

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数组中的元素可以是字符等；矩阵中的只能是数；
这是二者最直观的区别。因为矩阵是一个数学概念（线性代数里的），数组是个计算机上的概念。

《精通MATLAB6.5版》（张志涌编著，北京航空航天大学出版社）中说：

从外观形状和数据结构上看，二维数组和数学中的矩阵没有区别。但是矩阵作为一种变换或映射算子的体现，矩阵运算有着明确而严格的数学规则。而数组运算是Matlab软件所定义的规则，其目的是为了数据管理方便、操作简单、指令形式自然和执行计算的有效。虽然数组运算尚缺乏严谨的数学推理，虽然数组运算仍在完善和成熟中，但是它的作用和影响正随着matlab的发展而扩大。

数组运算：

数与数组加减：k+/-A         %k加或减A的每个元素

数组乘数组： A.*B           %对应元素相乘

数组乘方：　　A.^k           %A的每个元素k次方；k.^A，分别以k为底A的各元素为指数求幂值

数除以数组： k./A和A./k         %k分别被A的元素除

数组除法： 左除A.\B，右除B./A     %对应元素相除

矩阵运算：

数与矩阵加减：k+/-A                     %等价于k*ones(size(A))+/-A

矩阵乘法： A*B                           %按数学定义的矩阵乘法规则

矩阵乘方：　　A^k                        %k个矩阵A相乘

矩阵除法： 左除A\B右除B/A             %分别为AX=B和XA=B的解

可见，数组的运算很简单。若不考虑数学意义时，矩阵是数组的二维版本。

构造数组：

1、直接构造：用空格或逗号间隔数组元素

x=[1,2,3,4,5,6]

2、增量法构造：使用冒号操作符创建数组

a=first：end %递增，且步长为1的数组

a=first:step:end %指定增量步长值创建任何等差序列

3、用linspace函数构造

x=linspace（first，last，num） %需要指定首尾值和元素总个数，步长根据num平均分配

构造矩阵

1、简单创建方法

用[ ]，逗号或空格格开各元素，分号隔开各行，注意各行具有相同的元素个数。

2、构造特殊矩阵

ones，zeros，eye，diag，magic，rand，randn，randpem

.....

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数组运算：
转置                A.'                 %非共轭转置,相当于(conj(A'))
数组加与减     A+B与A-B      %对应元素之间加减
数乘数组         k.*A或A.*k     % k乘A的每个元素
数与数组加减 k+A与k-A      %k加（减）A的每个元素
数组乘数组      A.*B
数组乘方         A.^k              %A的每个元素进行k次方运算
                       k.^A              %以k底的，分别以A的元素为指数求幂值
数除以数组 k./A和A.\k        % k分别被B的元素除
数组除法     左除A.\B，右除B./A

矩阵运算：
矩阵转置           A'                    %共轭转置
加减                  A+B A-B
数乘矩阵           k*A或A*k       %上三项同数组运算
矩阵乘法           A*B               %按数学定义的矩阵乘法规则
矩阵乘方            A^k               %k个矩阵A相乘
数与矩阵加减      k+A与k-A      %等价于k*ones(size(A))+-A
矩阵除法           左除A\B，右除B/A  %分别为AX=B和XA=B的解

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例:
A=[1 2;3 4];B=[4 3;2 1];

r1=100+A
r1 =

      101 102
      103 104

 

r2_1=A*B,r2_2=A.*B

r2_1 =

         8 5
        20 13

r2_2 =

         4 6
         6 4

 

r3_1=A\B,r3_2=A.\B

r3_1 =

       -6.0000 -5.0000
        5.0000 4.0000

r3_2 =

       4.0000 1.5000
       0.6667 0.2500

 

r4_1=B/A,r4_2=B./A

r4_1 =

      -3.5000 2.5000
      -2.5000 1.5000

r4_2 =

       4.0000 1.5000
       0.6667 0.2500

 

r5_1=A.^2,r5_2=A^2

r5_1 =

          1 4
          9 16

r5_2 =

         7 10
       15 22

r6_1=2.^A

r6_1 =

           2 4
           8 16

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size(a)表示矩阵每个维度的长度
比如size([1 2 3;4 5 6])
等于[2 3]
表示他有2行3列
size([1 2 3])
等于[1 3]
表示他有1行3列
另外size(a,n)表示矩阵a在第n个维度下的长度。
比如size([1 2 3;4 5 6],1)
等于2，表示有2行
size([1 2 3;4 5 6],2)
等于3，表示有3列

length(a)表示矩阵a的最大的长度，即max(size(a))
比如length([1 2 3;4 5 6])
等于3，因为2和3中最大是3
当a是向量时，即表示向量的元素个数，因为向量总是1×n或n×1的，而n一定大于或等于1.所以得到的结果一定是n

ndims(a)表示矩阵a的维数，即length(size(a))
比如ndims([1 2 3;4 5 6])
等于2，因为他是二维矩阵
matlab认为向量也是二维矩阵，只不过其中一个维度的长为1.
因此ndims([1 2 3])也等于2

我们可以构造一个三维甚至更高维度的矩阵，
比如a=cat(3,[1 2 3 4;5 6 7 8],[9 8 7 6;5 4 3 2])
他除了行和列以外还有一个维度，我们暂且把它叫做高度。
也就是说a有两层，第一层是[1 2 3 4;5 6 7 8]，第二层是[9 8 7 6;5 4 3 2]
此时有size(a)=[2 4 2]
即2行4列2层
length(a)=4
（[2 4 2]中最大为4）
ndims(a)=3
（因为他有3个维度）