十五、二叉树的性质
二叉树的重要特性
性质1 非空二叉树上第 $i$ 层上至多有 ${2^{i - 1}}$ 个结点（$i \ge 1$）。
性质2 深度为 $k$ 的二叉树最多有 ${2^{k}-1}$ 个结点（$k \ge 1$）。
性质3 对于任意一颗二叉树，如果度为0的结点个数为 ${n_0}$，度为2的结点个数为 ${n_2}$，则 ${n_0}$ = ${n_2}$ + 1。
注意：也就是说，非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点数加1，该结论经常在选择题中用到，希望同学们牢记并灵活应用。拓展到任意一棵树，若结点数量为 $n$ ，则边的数量为$n-1$ 。
满二叉树的重要特性
定义：满二叉树（Full Binary Trees）是深度为 $k$ 且含有 ${2^{k - 1}}$ 个结点的二叉树。
特点：（1）每一层上的结点数都是最大结点数，即每一层 $i$ 的结点数都具有最大值 ${2^{i - 1}}$。
（2）叶子只能出现在最下一层。
（3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
完全二叉树的重要特性
定义：深度为 $k$ 的，有 $n$ 个结点的二叉树，当且仅当每一个结点都与深度为 $k$ 的满二叉树中编号从 1 至 $n$ 的结点一一对应时，成为完全二叉树（Complete Binary Tree）。
特点：（1）叶子结点只可能在层次最大的两层上出现（或者说叶子结点只能出现在最下两层）。
（2）对任一结点，若其右分支下的子孙的最大层次为 $l$，则其左分支下的子孙的最大层次必为 $l$ 或 $l+1$。
（3）同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。
（4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。
性质4 具有 $n$ 个（$n > 0$）结点的完全二叉树的深度（高度）为 $\left\lfloor {{{\log }_2}n} \right\rfloor + 1$。
性质5 如果对一棵有 $n$ 个结点的完全二叉树（其深度为$\left\lfloor {{{\log }_2}n} \right\rfloor + 1$）的结点按层编号，则对任一结点 $i(1 \le i \le n)$，有以下特性
- 如果 $i=1$，则结点 $i$ 是二叉树的根，无双亲；如果$i > 1$，则其双亲的编号为 $\left\lfloor {i/2} \right\rfloor $。
- 如果 ${2i > n}$，则结点 $i$ 无左孩子（结点 $i$ 为叶子结点）；否则其左孩子的编号为 $2i$。
- 如果 ${2i + 1> n}$，则结点 $i$ 无右孩子；否则其左孩子的编号为 $2i+1$。
例题及解析
二叉树
1. 下列有关树的概念错误的是（ B ）。
A. 一棵树中只有一个无前驱的结点
B. 一棵树的度为树中各个结点的度数之和
C. 一棵树中，每个结点的度数之和等于结点总数减1
D. 一棵树中每个结点的度数之和与边的条数相等
【解析】本题考查树的相关概念。
- 一棵树中只有根结点没有前驱结点，除根结点之外，每个结点都有一个前驱结点，即父结点，故而答案A正确。
- 通常我们把一个结点拥有子树的个数称为该结点的度数，所以结点的度数之和等于除根结点外所有结点的个数，即每个结点的度数之和等于结点总数减1，故而答案C正确。
- 结点的度等于该结点子树的个数，而结点与子树之间是以边连接的，所以一棵树中每个结点的度数之和与边的条数相等，答案D正确。
- 一棵树的度等于结点中度数最大的结点的度数，而不是树中各结点的度数之和。故而，答案B错误。
2. 设一棵 $m$ 叉树中有 ${N_1}$ 个度数为1的结点， ${N_2}$ 个度数为2的结点，...， ${N_m}$ 个度数为 $m$ 的结点，则该树中共有（ D ）个叶子结点。
A. $\sum\limits_{i = 1}^m {(i - 1){N_i}} $ B. $\sum\limits_{i = 1}^m {{N_i}} $ C. $\sum\limits_{i = 2}^m {{N_i}} $ D. $1 + \sum\limits_{i = 2}^m {(i - 1){N_i}} $
满二叉树
1. 对于一棵满二叉树，共有 $n$ 个结点和 $m$ 个叶子结点，高度为 $h$ ，则（ D ）。
A. $n=h+m$ B. $n+m=2h$ C. $m=h-1$ D. $n = {2^h} - 1$
【解析】
对于高度为 $h$ 的满二叉树，$n = {2^0} + {2^1} + ... + {2^{h - 1}} = {2^h} - 1,m = {2^{h - 1}}$
或者用特殊值法。
完全二叉树
1.若一棵完全二叉树有768个结点，则该二叉树中叶结点的个数是（ C ）。
A.257 B. 258 C. 384 D. 385
【解析】
由完全二叉树的性质，最后一个分支结点的序号为 $\left\lfloor {768/2} \right\rfloor = 384$，故叶子结点的个数为768-384 = 384。
