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昨天比赛由于时间原因只看了一眼，这个题感觉挺有意思，随便写了个暴力，结果拿到了 0pts 的高分就没再看……赛后发现有一种情况的性质想错了……

以上都是废话

题意简述

给出序列 $\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}(1\le n\le {10}^6,1\le a_i\le {10}^6)$，构造序列 $b=\{1,2,\cdots ,a_1,1,2,\cdots ,a_2,\cdots ,1,2,\cdots ,a_n\}$。求 $b$ 的所有子区间最小众数之和。

题目分析

最基础的暴力很好做，直接构造 $b$ 进行统计就行。

注意到 $a_i$ 并不太大（当然大了离散化后也一样），那么 $b$ 不同区间的最小众数也不会有太多情况。我们自然想到可以统计每个数作为区间最小众数的情况数之和。比赛时我也是想到了类似于出题人大佬的区间最小众数性质：要么是 $1$，要么是区间的左端点。具体的证明我没有特意去写，大家可以直接看出题人大佬的题解，里面说的很详细。

那么对于每个 $b$ 中的区间内的元素，可以拆成 $[l,a_x],[1,a_{x+1}],[1,a_{x+2}],\cdots ,[1,a_{y-1}],[1,r]$。当且仅当 $\mathrm{\forall }i\in [x,y-1],a_i\ge l$ 且 $r\ge l$ 时区间最小众数为 $l$，否则为 $1$（比赛时我误认为只要 $r\ge l$ 就行，导致了爆零）。

证明比较简单：

若 $\mathrm{\forall }i\in [x,y-1],a_i\ge l$ 且 $r\ge l$，则 $l$ 在所有区间都存在，出现了 $y-x+1$ 次；而 $1,2,\cdots ,l-1$ 在第一个区间不存在，至多出现 $y-x$ 次，不可能为众数；$l+1,l+2,\cdots$ 也至多出现 $y-x+1$ 次，即使是众数也不可能是最小众数。因此最小众数必为 $l$。

否则，$\mathrm{\exists }i\in [x,y-1],a_i<l$ 或 $r<l$，那么 $l,l+1,l+2,\cdots$ 在 $[1,a_i]$ 或 $[1,r]$ 必然不出现，至多出现 $y-x$ 次；$1$ 只在第一个区间不出现，必然出现 $y-x$ 次，$2,3,\cdots ,l-1$ 则至多出现 $y-x$ 次。由此判断 $1$ 必为最小众数。

那么有了以上的结论，我们就可以很简单地统计了。对于每个 $l$，用链表快速统计出 $\ge l$ 的极大连续段进行计算即可。