P4044题解
题意简述
一场保龄球比赛一共有 $n(1\le n \le 50)$ 个轮次，每一轮都会有十个木瓶放置在木板道的另一端。每一轮中，选手都有两次投球的机会来尝试击倒全部的十个木瓶。对于每一次投球机会，选手投球的得分等于这一次投球所击倒的木瓶数量。选手每一轮的得分是他两次机会击倒全部木瓶的数量。对于每一个轮次，有如下三种情况：
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“全中”：第一次击倒了全部十个木瓶，此时不需要进行第二次，同时计算总分时，下一轮的得分将会被乘 $2$ 计入总分。
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“补中”：经过两次才击倒了十个木瓶，计算总分时，选手在下一轮中的第一次的得分将会以双倍计入总分。
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“失误”：两次尝试后仍没有击倒全部的木瓶，计算总分时，下一轮的得分不翻倍直接计入总分。
此外，如果第 $n$ 轮是“全中”，那么选手可以进行一次附加轮（也就是一共进行 $n+1$ 轮比赛）。注意附加轮的规则只执行一次，即使第 $n+1$ 轮又打出“全中”，也不会进行第 $n+2$ 轮比赛（也就是说附加轮的成绩不会使得其他轮的分数翻番）。
现在进行了 $n$ 个轮次的保龄球比赛，求将打出的所有轮次的顺序重新排列后，能得到的最高总分数（当然重排后所需要进行的轮数和重排前所进行的轮数是一致）。
题目分析
这个题第一眼看上去是一道状压动规，但至少我没想到状态该怎么设计(如果是将排列作为状态，$O(n!)$ 级别的复杂度无论是空间还是时间都接受不了)。而朴素暴搜的时间复杂度也是 $O(n!)$，仍然无法接受。所以我们可以采用复杂度相对低的非完美算法——模拟退火。
模拟退火名称中的“退火”是物理概念，笼统地说是将金属缓慢加热到一定温度，保持足够时间，然后以适宜速度冷却，因为本人不知道对于算法本身帮助不大，所以不多加赘述，有兴趣的同学可以自行查阅资料。但是具体的算法中，需要用到的三个参数的名称和物理有点关系：初始温度 $T_0$、终止温度 $T_E$、衰减系数 $\alpha$。
模拟退火算法一般用来求解最优解问题。形式大致是这样的：$f_{min/max}(state)$。注意状态 $state$ 只是一个笼统的概念，可以包括多个参数，表示内容也是多样的，比如平面/空间中的一个点、许多选与不选的状态决策、以及排列等。其中，本题就可以直接认为状态是 $n$ 个轮次的一个排列。另外最优解的标准也是多样的，$f$ 函数的值同样可以包含多种信息，本题的 $f$ 值可以看作某个排列下的得分。这些体现了模拟退火算法的解决问题的广泛性与一般性。
在介绍具体的算法过程之前，先来解释下刚刚的三个参数 和别的概念初始温度 $T_0$、终止温度 $T_E$、衰减系数 $\alpha$ 的具体含义：$T_0$ 在算法中指初始搜索步长（相对较大），$T$ 指终止搜索步长（为保证答案精确，应尽量趋于 $0$，但会增加时间），$\alpha$（$\in[0,1)$） 是搜索步长的衰减率（为保证答案精确，应尽量趋于 $1$，但也会增加时间）。（注意状态没有“步长”这个概念（比如本题）时，三个参数并不一定是这个意思，而应该具体情况具体处理，下设问题是求最小值）。
具体实现是这样的：
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将当前搜索步长“温度” $t$ 设置为 $T_0$，并设定一个随机状态 $state_0$。
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在当前决策 $state$ 的当前步长（即温度 $t$）之内再次选择一个新的随机决策 $state'$。
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如果 $state'$ 更优，则一定保留；但如果更劣，也不应直接选择不保留，因为 $state'$ 也有可能拓展到全局最优解，所以我们应有一定几率保留该决策。设 $\Delta=f(state')-f(state)$，一般保留决策的概率取 $e^{-\frac{\Delta}{t}}$（求最大值时取 $e^{\frac{\Delta}{t}}$，下同），这样就能保证 $f(state')$ 越接近最优解，保留的概率最大；越不接近最优解，保留的概率越小。具体实现时则是将 $e^{-\frac{\Delta}{t}}$ 与一个随机实数 $x\in [0,1]$ 相比较，如果 $e^{-\frac{\Delta}{t}}>x$ 则保留，反之不保留。
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将 $t$ 乘上 $\alpha$，并重复第 $2$~$3$ 步，如此一直到 $t\leq T_E$ 为止。
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将 $1$~$4$ 步总体重复 $m$ 次（$m$ 的值由答案精度以及数据步长、时限等具体定）。
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注意答案的选择不一定是最终保留的决策，而是应该取过程中所计算出的最优解。
然后我们算一下时间复杂度，设计算 $f(state)$ 的时间复杂度为 $O(q)$，那么总时间复杂度为 $O(mq\log_{\alpha} \frac{T_E}{T_0})$。
回到本题，本题中的状态应是 $n$ 个轮次的排列，所以也就没有“步长”这一概念，但是模拟退火的整体框架是可以应用的：我们只需要每次随机挑选两个轮次并交换，检查合法性后计算得分并比较，然后选择保留/不保留该决策即可。
代码实现
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct nd
{
int x,y;
}q[55];
int n,m,ans;
int f()//计算得分
{
int res=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
res+=q[i].x+q[i].y;
if(i<=n)
{
if(q[i].x==10)
res+=q[i+1].x+q[i+1].y;
else if(q[i].x+q[i].y==10)
res+=q[i+1].x;
}
}
ans=max(ans,res);//用计算出的答案更新
return res;
}
void SA()//模拟退火
{
for(double t=1e4;t>1e-4;t*=0.99)//当前步长（温度），本代码中T0 = 1e4，TE = 1e-4，α = 0.99
{
int a=rand()%m+1,b=rand()%m+1;//随机挑选两个轮次
int x=f();//f(state)
swap(q[a],q[b]);//交换轮次
if(n+(q[n].x==10)==m)//合法
{
int y=f();//f(state')
int delta=y-x;//Δ
if(exp(delta/t)<(double)rand()/RAND_MAX)
swap(q[a],q[b]);//如果更劣，一定概率保留；如果更优，直接保留
}
else
swap(q[a],q[b]);//不合法，换回来
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d",&q[i].x,&q[i].y);
if(q[n].x==10)
m=n+1,scanf("%d%d",&q[n+1].x,&q[n+1].y);
else
m=n;
for(int i=1;i<=100;i++)//重复模拟退火过程，这里 m = 100
SA();
printf("%d",ans);
return 0;
}