理解矩阵与线性代数

 

我开始以为矩阵是为了把线性方程组的系数抽取出来，方便方程组化简和求解，后来发现矩阵的用处不止如此，不然就不会写一本书了。

矩阵可以方便的用来表示线性空间，一个简单的二维数阵，就可以表示成n维线性空间。

一个毫无意义的有序数阵，我们赋予它意义，他就可以表示成一个空间。那为什么要这么做呢？这是因为矩阵的运算可以表示线性空间的变换。以向量举例，我们求两个向量相加，可以让(x1，y1)和(x2，y2)相加，而不必真的在图上画出来这个相加后的向量。到三维空间我们就画不出来了，因为二维空间中的向量不能表示三维空间中的向量。同样，n大于3以上维度的空间中的向量我们不但不方便表示，甚至根本实现不了，但是矩阵可以帮助我们表示出来。一个3x3的矩阵，我们把他分成三列，就得到三个三维的列向量，同样4阶方阵中包含了4个4维向量。

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为了直观理解，下面全部用二维向量举例。

1. 平面内引入直角坐标系之后，二维空间内所有的向量都可以用两个基向量i=(1,0)和j=(0,1)的线性组合来表示，例如a=(4,6)，可以表示为a=4i+6j。
2. 但是也可以由i=(2,0)和j=(0,2)两个向量来表示，例如a=2i+3j。
3. 还可以由i=(1,1)和j=(1,-1)来表示，例如a=5i-1j。
4. 或者由i=(1,0)和j=(1,-1)表示，例如a=10i-6j。
5. 在1的基础上，我们还可以将a表示为i=(1,0),j=(0,1),k=(1,1)三个向量的线性组合，也就是a=4i+6j+0k或者a=0i+2j+4k或者a=2i+4j+2k等等等等我举不完了。这其中k=i+j。

通过上面的举例我们可以总结出几条。

1. 由5点到4点，将多余的基向量k去掉，得到最大线性无关向量组。
2. 由4点到3点，将两个基向量的夹角变成直角，实现正交化。
3. 由3点到2点，将构成正交的两个基向量旋转，使其与坐标轴重合，实现对角化。
4. 由2点到1点，通过伸缩将两个基向量的长度变成单位长度，实现规范化。

通过上面的几个步骤，我们可以看出，任何一组向量构成的坐标系，都可以通过化简，正交，对角，规范的过程，将任何乱七八糟莫名其妙的坐标系变换成笛卡尔坐标系。那这么做有什么用呢？到这里我开了一下脑洞：
假如说，平面内有两个椭圆，将直角坐标系的原点放在一个椭圆的长轴和短轴交点处，这样就可以得到这个椭圆的标准方程，就是高中课本上那个。由于这两个椭圆的位置相对，这样一来另一个椭圆的位置也就定下来了，可惜很难看，长得很歪，很难用方程表示。这时就可以以这个椭圆为原点再建立一个坐标系，并且在这个坐标系下用标准方程表示出来，这样两个椭圆都有了方程来表示，问题就化简为了两个坐标系之间的关系，这时再用矩阵来运算就好了。可惜这里不能画矩阵，关于矩阵的好多问题都不能解释。

BTW，上面列举的例子都是同维度内的问题，关于升维和降维的问题其实关系到求矩阵的秩，以及线性方程组有解无解多解的问题。
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