图的概念总结（全）

图的定义

图G由顶点集V和边集E组成，记为G = (V, E)，其中V(G)表示图G中点的有限非空集；E(G)表示图G中顶点之间的关系（边）集合。

注意：线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空，即V一定是非空集，最少存在一个顶点。

有向图、无向图

 

简单图、多重图

简单图：不存在重复边、不存在顶点到自身的边

数据结构课程只探讨"简单图"

多重图：图G中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联，则G为多重图。

完全图

边的数量最大化，有向图：n(n-1)，无向图n(n-1)/2。

子图

图的一部分，例如：

连通、连通图、连通分量（针对无向图）

若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的。

若图中任意两个定点都是连通的，则称为连通图，否则称为非连通图。

连通分量：极大连通子图（要求该连通子图包含所有的边）

强连通图、强连通分量（针对有向图）

若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是强连通的。

若图中任意两个定点都是强连通的，则称为强连通图，否则称为非强连通图。

强连通分量：极大强连通子图

生成树、生成森林

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。

在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

顶点的度、入度、出度

对于无向图：

顶点v的度是指依附于该顶点的边的条数，记为TD(v)。

对于有向图：

入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v)；

出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(v)。

顶点v的度等于其入度和出度之和，即TD(v) = ID(v) + OD(v)。

边的权和网

边的权——在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值。

带权图/网——边上带有权值的图称为带权图，也称网。

带权路径长度——当图是带权图时，一条路径上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度。

稠密图、稀疏图

边数很少称为稀疏图，反之称为稠密图。

路径、路径长度和回路

路径长度——路径上边的数目。

回路——第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。

简单路径、简单回路

简单路径——在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径。

简单回路——除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。

距离

顶点之间的最短路径长度，若不存在通路记距离为无穷。

有向树

有向树——一个顶点的入度为0、其余顶点的入度均为1的有向图，称为有向树。