曲线积分计算

一、曲线积分计算

（一）一型曲线积分

（1）直角坐标法

因为积分是在曲线上进行的，故可以将曲线方程带入，转化成对x定积分。定限：x的最大到最小值。

可将积分区域代入积分函数的：曲线积分、曲面积分，重积分不能带入。

（2）参数方程法

对于平面曲线L上的积分：将x，y，ds用t表示。注意：t的定界从小到大，大-小

对于空间曲线L上的积分：将x，y，z，ds用t表示（怎么表示，...看书）。注意：t的定界从小到大，大-小

（3）极坐标法

将x，y，ds用极坐标表示。定限：从小到大，大角-小角

（4）奇偶性

一般先看积分区间，看是否通过奇偶性先消去积分等于0的项（比如对于x的奇函数，且积分曲线关于yoz对称：积分曲线在yoz前后一致，这个积分就等于零）。

（5）对称性

看积分曲线，将x和y对调后若积分曲线不变，那么积分函数也可以将x和y对调。举个例子：求对X^2的积分，积分曲线是一个圆心在原点半径为a的上半圆

因为对x^2 和对y^2的积分相等，可以先计算对x^2+y^2的积分，最后/2就行了。这样变换的目的是简化计算。

（二）二型曲线积分

（1）直接计算法——参数方程

将x，y，dx，dy用参数t表示。

注意：t的定限：终点-起点，这和一型曲线积分是不同的！！！

（2）格林公式法

 

 

对于封闭曲线用格林公式，书上逆时针为正方向。

（3）补线后用格林公式、变换路径

记得减去新添加的线，若与积分路径-无关（判定方式,，...）可以将曲线变成直线简化计算。

注意曲线方向与积分正负密切相关，补的线的积分看好方向。

二型线积分没有提到奇偶性与对称性，不要瞎用。

（三）方法选择