中国剩余定理学习笔记

起源       
         在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

         解法：1、找出三个数，从3和5的公倍数中找出取余7等于1的数（即15），从3和7的公倍数中找出取余5等于1的数（即21）从5和7的公倍数中找出取余3等于1的数（即70）。

                    2、用15乘以2（即x除以7的余数），用21乘以3（即x除以5的余数），用70乘以2（即x除以3的余数），将这三个数加起来，得到30+63+140=233。

                    3、求3，5，7这三个数的最小公倍数，即105。用233除以105，求出余数为23，23就是符合这个要求的最小解。

解释

         首先引入一个公式，即  若a%b=c，则有(a+k*c)%b=c(其中k为整数）。因此设三个数n1,n2,n3，这三个数满足n1%3=2,     n2%5=3，n3%7=2。如果要让(n1+n2)%3=2，则需要上面的公式，即n2是3的倍数就成立，同理，要让（n1+n2+n3)%3=2，即让n2,n3都为3的倍数，因此要满足上面的三个公式，就有

          1、n1需要是5和7的倍数，n1%3=2。

          2、n2需要是3和7的倍数，n2%5=3。

          3、n3需要是3和5的倍数，n3%7=2。

要得到最终解，就是（n1+n2+n3)，要得到最小解，由第一个公式得即（n1+n2+n3)%105。

代码解决

        首先解决求n1，n2，n3的过程，要求n1，应该先在5和7的公倍数中，找到n1%3=1的数，再用这个数乘2，即求5和7的公倍数在取余3时的逆元，在用这个逆元乘2。

        求逆元的方法

         

//拓展欧几里得
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0){
       x=1;
       y=0;
       return a;
    }
    ll ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}

//费马小定理
ll qkpow(ll a,ll p,ll mod)
{
   ll t=1,tt=a%mod;
   while(p)
   {
       if(p&1)t=t*tt%mod;
       tt=tt*tt%mod;
       p>>=1;
   }
   return t;
}
ll getInv(ll a,ll mod)
{
   return qkpow(a,mod-2,mod);
}

代码实现

ll china(ll a[],ll b[],int n)     //a[]为除数，b[]为余数，n为个数
{
   ll M=1,y,x=0;
   for(int i=0;i<n;i++){
      M*=a[i];
   }
   for(int i=0;i<n;i++){
      ll w=M/a[i];
      ll tx=0;
      ll t=exgcd(w,a[i],tx,y);
      x=(x+w*(b[i]/t)*x)%M;
   }
   return (x+M)%M;
}