【题解】牛客练习赛41-D 最小相似度

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$\text{Solution:}$

首先考虑我们到底要求啥，实际就是要快速求出对于一个数 $x,$ 所有数与它异或后的 SIM 值。

一种 naive 的想法是直接枚举 $T,$ 显然复杂度爆炸，因为 $n$ 太大了，是 $O(2^m\times n)$ 的。

考虑把 $n$ 干掉，倒着想。题目的描述引导我们去二分答案。

设当前答案是 $mid,$ 目标就是看是否存在一个 $x$ 满足最大 SIM 不超过 $x.$

考虑设 $f_x$ 表示 $x$ 在二进制下 $0$ 的个数，寻找一个逆向的突破口：

不能直接枚举 $x,$ 考虑什么情况下我们可以知道存在这样一个 $x.$

那么发现，每个数 $v_i$ 在经过变换后的值就是 $v_i\text{ xor } x,$ 那不妨从这个最终状态出发。

考虑预处理出所有二进制下 $0$ 的个数等于 $i$ 的数，那么设 $g_x$ 表示 $x$ 这个数是否有贡献，那么把 $cnt\leq mid$ 的贡献都算上，现在我们就有了两个多项式：

$$f,g$$

那么设 $c,c_x=\sum_{i\text{ xor }j=x}f_i\times g_j$

那么存在一个 $x$ ，就意味着 $c_x=n,$ 因为这就等价于它对每个数都有贡献。

从上述做法就可以二分答案了。复杂度 $O(m2^m\times \log m)$