【学习笔记】斯特林数（未完成）

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第二类斯特林数：定义为把 \(n\) 个数划分成 \(k\) 个非空集合的方案数，记为 \(S(n,k)\)

那么考虑枚举新加入一个数应该放在哪里，就有递推式:

\[S(n,k)=S(n-1,k-1)+k\cdot S(n-1,k) \]

有一个重要的等式：

\[n^m=\sum_{i=0}^n C_{n}^{i} i! S(m,i) \]

就是：枚举选了哪些盒子放球的方案数。

第一类斯特林数：定义为把 \(n\) 个数划分成 \(k\) 个非空圆排列的方案数，记为 \(s(n,k)\)

那么考虑新加入一个数怎么算，有递推式：

\[s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)s(n-1,k) \]

大概就是考虑最后一个数是新开一个圆排列还是放进之前的某个圆排列。

于是有一个叫斯特林反演的东西：

\[f(k)=\sum_{i=0}^k S(k,i)g(i)\to g(k)=\sum_{i=0}^k (-1)^{k-i}s(k,i)f(i) \]