【题解】[BJOI2019]删数
\(\text{Solution:}\)
记 \(cnt_x\) 表示数 \(x\) 的出现次数。
那么，一个数 \(x\) 能删去的范围应该是： \([x-cnt_x+1,x].\)
考虑一个序列能被删去，当且仅当它的范围被完全覆盖到。
所以最小修改次数就是 没有被覆盖的区间的长度 。
那么我们可以把每一个数抽象成一条线段，进行区间加减 \(1\) 以及求区间 \(0\) 的个数即可。
考虑一个数 \(x\) 大于数列的长度会发生什么。
它覆盖的区间 \([x-cnt_x+1,x]\) 实际上由于 \(x\) 本身大于 \(len\) ，它是无法被删掉的。
所以我们需要动态加入维护线段。
这个时候我们注意到全局修改操作的特性：相当于全体值域平移一个单位。
值域不好做，我们可以将询问区间进行反向平移。为了避免出现负数，开始的时候就向右平移 \(\max \left\{n,m\right\}\) 个单位即可。
平移后，对应的值也改变，我们需要记录一个 \(\Delta\) 来表示值域的位移程度，后续修改的时候需要根据 \(\Delta\) 来修改对应的值 \(x\) 来保证修改的值是对的。
这样，原本看似是全局询问的题目被迫变成了一道区间询问。
这个东西：维护大于等于 \(1\) 的数的个数，看着很像扫描线对吧。我们维护值域被覆盖的次数以及被覆盖的长度即可。
但是因为这题是区间查询而不是全局，所以这样维护的信息是有冗余的，是错误的。
考虑另一种做法，扫描线题解中也提到过：维护区间最小值以及它的出现次数。
这样，如果最小值是 \(0\) 我们查询的就是区间长度减去最小值个数，否则返回区间长度。
实际上是变相维护了一个区间 \(0\) 的个数。
而区间最小值个数是很好维护的。也可以满足区间查询的要求。
于是这个题就在 \(O(n\log n)\) 的时间复杂度下解决了。
代码实现细节很多。
平移询问的时候需要动态加入或删除不需要的线段，但左端点不用管。因为每一个值的线段区间是向左延伸的。
单点修改的时候也要注意修改的值是不是超过的查询区间右端点。、
平移询问加入线段的时候也要注意这个右端点的值是不是出现过，只有出现过才是有意义的，否则修改区间 \([queryR+1,queryR]\) 会出现错误。
代码思维难度和实现难度均较大。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=9e5+10;
int ls[MAXN],rs[MAXN],rt;
int L[MAXN],R[MAXN],node;
int cnt[MAXN],a[MAXN];
int n,m,tag,vis[MAXN];
int ct[MAXN],tg[MAXN];
int minn[MAXN];
int ql,qr,dt;
inline int read(){
int s=0,w=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-')w=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch)){
s=s*10-48+ch;
ch=getchar();
}
return s*w;
}
inline int Min(int x,int y){return x<y?x:y;}
inline void pushup(int x){
minn[x]=Min(minn[ls[x]],minn[rs[x]]);
if(minn[ls[x]]<minn[rs[x]])ct[x]=ct[ls[x]];
else if(minn[ls[x]]>minn[rs[x]])ct[x]=ct[rs[x]];
else ct[x]=ct[ls[x]]+ct[rs[x]];
}
inline void pushdown(int x){
if(tg[x]){
int &p=tg[x];
tg[ls[x]]+=p;
tg[rs[x]]+=p;
minn[ls[x]]+=p;
minn[rs[x]]+=p;
p=0;
}
}
void build(int &x,int l,int r){
x=++node;
L[x]=l;R[x]=r;
if(l==r){ct[x]=1;return;}
int mid=(l+r)>>1;
build(ls[x],l,mid);
build(rs[x],mid+1,r);
pushup(x);
}
void change(int x,int l,int r,int v){
if(L[x]>=l&&R[x]<=r){
minn[x]+=v;
tg[x]+=v;
return;
}
pushdown(x);
int mid=(L[x]+R[x])>>1;
if(l<=mid)change(ls[x],l,r,v);
if(mid<r)change(rs[x],l,r,v);
pushup(x);
}
int query(int x,int l,int r){
if(L[x]>=l&&R[x]<=r){
if(minn[x]!=0)return R[x]-L[x]+1;
else return R[x]-L[x]+1-ct[x];
}
pushdown(x);
int mid=(L[x]+R[x])>>1;
int val=0;
if(l<=mid)val=query(ls[x],l,r);
if(mid<r)val+=query(rs[x],l,r);
pushup(x);
return val;
}
inline int Max(int x,int y){return x>y?x:y;}
int main(){
n=read(),m=read();tag=Max(n,m);ql=tag+1,qr=tag+n;
for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]),cnt[a[i]+tag]++,vis[a[i]+tag]=1;
build(rt,1,tag+tag+tag);
for(int i=1;i<=n;++i){
if(!vis[a[i]+tag])continue;
vis[a[i]+tag]=0;
int lpos=a[i]+tag-cnt[a[i]+tag]+1;
int rpos=a[i]+tag;
change(rt,lpos,rpos,1);
}
for(int i=1;i<=m;++i){
int p,x;
scanf("%d%d",&p,&x);
if(p>0){
x-=dt;
int val=a[p]+tag;
a[p]=x;
int pos=val-cnt[val]+1;
cnt[val]--;
if(val<=qr)change(rt,pos,pos,-1);
cnt[x+tag]++;
pos=x+tag-cnt[x+tag]+1;
if(x+tag<=qr)change(rt,pos,pos,1);
int ans=query(rt,ql,qr);
printf("%d\n",n-ans);
}
else{
dt+=x;
if(x<0){
qr++;ql++;
int lpos=qr-cnt[qr]+1;
int rpos=qr;
if(cnt[qr]>0)change(rt,lpos,rpos,1);
}
else{
int lpos=qr-cnt[qr]+1;
int rpos=qr;
if(cnt[qr]>0)change(rt,lpos,rpos,-1);
qr--;ql--;
}
int ans=query(rt,ql,qr);
printf("%d\n",n-ans);
}
}
return 0;
}
