【学习笔记】多项式快速幂

题目大意：

\[F(x)\equiv A^k(x)(\bmod x^n) \]

求\(F(x).\)

解法：

首先我们直接\(\log k\)次倍增求怎么想都有亿点慢。考虑推式子：

\[\ln F(x)\equiv k\ln A(x)(\bmod x^n) \]

于是，先求\(\ln\)再\(\exp\)回去就好惹qwq

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int N=310000;
int rev[N],a[N],b[N],c[N],f[N],g[N];
int n,G[N],e[N],k;
int A[N],B[N],F[N]; 
inline int add(int x,int y){return (x+y)%mod;}
inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
inline int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-')w=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		s=s*10+ch-48;
		ch=getchar();
	}
	return w==1?s:s;
}
inline int readMod(){
	int s=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		s=mul(s,10);
		s=add(s,ch);
		s=add(s,mod-48);
		ch=getchar();
	}
	return s;
}
inline int qpow(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1)res=mul(res,a);
		a=mul(a,a);b>>=1;
	}
	return res;
}
void NTT(int *a,int lim,int tp){
	for(int i=0;i<lim;++i)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=1;i<lim;i<<=1){
		int gn=qpow(3,(mod-1)/(i<<1));
		if(tp!=1)gn=qpow(gn,mod-2);
		for(int j=0;j<lim;j+=(i<<1)){
			int G=1;
			for(int k=0;k<i;++k,G=mul(G,gn)){
				int x=a[j+k],y=mul(G,a[i+j+k]);
				a[j+k]=add(x,y);a[i+j+k]=add(x,mod-y);
			}
		}
	}
	if(tp==1)return;
	int inv=qpow(lim,mod-2);
	for(int i=0;i<lim;++i)a[i]=mul(a[i],inv); 
}
void Inv(int d,int *a,int *b){
	if(d==1){b[0]=qpow(a[0],mod-2);return;}
	Inv((d+1)>>1,a,b);
	int lim=1,len=0;
	while(lim<(d<<1))lim<<=1,len++;
	for(int i=1;i<lim;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	for(int i=0;i<d;++i)c[i]=a[i];
	for(int i=d;i<lim;++i)c[i]=0;
	NTT(c,lim,1);NTT(b,lim,1);
	for(int i=0;i<lim;++i)b[i]=1ll*(2-1ll*b[i]*c[i]%mod+mod)%mod*b[i]%mod;
	NTT(b,lim,-1);for(int i=d;i<lim;++i)b[i]=0;
}
inline void Dx(int *a,int *b,int L){
	for(int i=1;i<L;++i)b[i-1]=mul(a[i],i);
	b[L-1]=0;
}
inline void Int(int *a,int *b,int L){
	for(int i=1;i<L;++i)b[i]=mul(a[i-1],qpow(i,mod-2));
	b[0]=0;
}
void Ln(int L,int *a,int *R){
	Dx(a,e,L);Inv(L,a,f);
	int lim=1,len=0;
	while(lim<(L<<1))lim<<=1,len++;
	for(int i=1;i<lim;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	NTT(e,lim,1);NTT(f,lim,1);
	for(int i=0;i<lim;++i)e[i]=mul(e[i],f[i]);
	NTT(e,lim,-1);Int(e,R,lim);
	for(int i=0;i<lim;++i)e[i]=f[i]=0;
}
void Exp(int d,int *a,int *b){
	if(d==1){b[0]=1;return;}
	Exp((d+1)>>1,a,b);
	Ln(d,b,G);
	int lim=1,len=0;
	while(lim<(d<<1))lim<<=1,len++;
	for(int i=1;i<lim;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	for(int i=0;i<d;++i)G[i]=a[i]>=G[i]?a[i]-G[i]:a[i]-G[i]+mod;
	for(int i=d;i<lim;++i)b[i]=G[i]=0;
	G[0]++;NTT(G,lim,1);NTT(b,lim,1);
	for(int i=0;i<lim;++i)b[i]=mul(b[i],G[i]);
	NTT(b,lim,-1);
	for(int i=d;i<lim;++i)b[i]=G[i]=0;
}
int main(){
	n=read();k=readMod();
	for(int i=0;i<n;++i)a[i]=read();
	int len=1;for(;len<=n;len<<=1);
	Ln(len,a,A);
	for(int i=0;i<len;++i)A[i]=mul(A[i],k);
	Exp(len,A,B);
	for(int i=0;i<n;++i)printf("%d ",B[i]);
	return 0;
}