【学习笔记】多项式对数函数
求：
\[G(x)\equiv \ln F(x)(\bmod x^n)
\]
解：
令\(f(x)=\ln x\)
\[G(x)\equiv f(F(x))(\bmod x^n)
\]
两边求导：
\[G'(x)\equiv \frac{F'(x)}{F(x)}(\bmod x^n)
\]
所以，对\(F\)求一个逆，求一个导，乘起来再求一个逆就做完了。
求导与积分：
\[f(x)=x^a,f'(x)=ax^{a-1}
\]
\[\int f(x) dx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}
\]
它们互为逆运算。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=300010;
const int mod=998244353;
int a[N],b[N],c[N],rev[N],g[N],n,e[N],f[N];
inline int add(int x,int y){return (x+y)%mod;}
inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
inline int qpow(int a,int b){
int res=1;
while(b){
if(b&1)res=mul(res,a);
a=mul(a,a);b>>=1;
}
return res;
}
void NTT(int *a,int n,int x){
for(int i=0;i<n;++i)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int i=1;i<n;i<<=1){
int gn=qpow(3,(mod-1)/(i<<1));
for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
int G=1,x,y;
for(int k=0;k<i;++k,G=mul(G,gn)){
x=a[j+k],y=mul(G,a[i+j+k]);
a[i+j+k]=add(x,mod-y);a[j+k]=add(x,y);
}
}
}
if(x==1)return;
int inv=qpow(n,mod-2);reverse(a+1,a+n);
for(int i=0;i<n;++i)a[i]=mul(a[i],inv);
}
void Getinv(int d,int *a,int *b){
if(d==1){b[0]=qpow(a[0],mod-2);return;}
Getinv((d+1)>>1,a,b);
int lim=1,len=0;
while(lim<(d<<1))lim<<=1,++len;
for(int i=1;i<lim;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
for(int i=0;i<d;++i)c[i]=a[i];
for(int i=d;i<lim;++i)c[i]=0;
NTT(c,lim,1);NTT(b,lim,1);
for(int i=0;i<lim;++i)b[i]=1LL*(2-1ll*c[i]*b[i]%mod+mod)%mod*b[i]%mod;
NTT(b,lim,-1);for(int i=d;i<lim;++i)b[i]=0;
}
inline void Derivative(int *a,int *b,int L){for(int i=1;i<L;++i)b[i-1]=mul(i,a[i]);b[L-1]=0;}
inline void Integral(int *a,int *b,int L){for(int i=1;i<L;++i)b[i]=mul(a[i-1],qpow(i,mod-2));b[0]=0;}
void GetLn(int L,int *a){
Derivative(a,e,L);Getinv(L,a,f);
int lim=1,len=0;
while(lim<(L<<1))lim<<=1,++len;
for(int i=1;i<lim;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
NTT(e,lim,1);NTT(f,lim,1);
for(int i=0;i<lim;++i)e[i]=mul(e[i],f[i]);
NTT(e,lim,-1);Integral(e,g,lim);
for(int i=0;i<n;++i)printf("%d ",g[i]);
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&a[i]);
int LL=1;for(LL=1;LL<=n;LL<<=1);GetLn(LL,a);
return 0;
}
