持续更新——dp的一些技巧

共菜鸡笔者看的……会慢慢更新，也请看到的大佬留意一眼，指出不足。

• 对于一些对部分点的二维$dp$,状态从左上角继承而来时，对于一个点$(x,y)$，对它编号$x*m+y$,按照这个顺序$dp$,可以保证更新当前值之前前面的已经被更新。

• 善于发掘题目的性质。对于一些一眼看上去没法$dp$的东西，观察题目条件，将无用的状态去除或者确定一种$dp$顺序之类，变成一个经典的$dp$模型。

• 把$dp$柿子写完，观察其中有没有类似$i*j$项的东西，看是不是能够斜率优化。推柿子原则：$y$是所有与$j$有关的项，$k$是$i*j$项中与$i$有关的部分，$x$是$i*j$项中与$j$有关的部分，$b$是只与$i$有关的部分。

• 斜率优化的时候，观察题目要求的是$\text{max/min}$，$b$项的$dp[i]$的符号，这些是决定凸包方向的重要条件。

• 斜率优化的时候特别留意决策单调性，如果斜率单调，我们可以做到$O(n)$维护决策点；有一些不单调的（比如斜率），就要考虑其他维护决策点的方法。

• 赋值初始值能不用$\text{memset}$就不用……

• 写$dp$前捋清方程，推柿子的时候千万注意符号，如果反了就完了

• 注意树形$dp$时，有些走向是从叶子到上面的，这时状态中如果需要有“距离最近的节点”之类，需要记录$dfs$到这里的祖先，只有祖先可以转移。

• $dp$注意转移的顺序，一定要从之前没有更新的旧状态来更新当前的新状态，否则会错。

• 对于一些$dp,$做完当前层是需要把一些$dp$状态合并掉来方便上面层继续$dp$的。

• 在设 $dp$ 最大值的时候一定要注意不要把类型上界卡得特别满，否则很容易溢出错误。

• 计算方案数的时候留意一下不要把计算方案数写成取 $\max$ 或 $\min$

• 树形背包写刷表会更快。因为枚举上界缩小了。

• 写之前一定要把思路捋清楚 要不然会很惨……

• 检查的时候要贴合 $dp$ 的实际意义，不要写出不符合实际意义的方程式。

• 注意背包一类的 $dp$ 降维后的方程转移有没有后效性影响，一般会再记录一个辅助数组来记录上一次转移的 $dp$ 值是最稳的。

• 写大 $dp$ 像麻将一类的时候一定要心平气和，封装函数，让 $dp$ 部分尽量清新。

• 计算某种情况的贡献的时候，考虑这个局部你计算的答案到底是这个局部的还是对于全局的，不同的计算方式与题意差别很大。

• 区间 $dp$ 有两种不同的转移，一种是枚举断点合并，一种是左右端点慢慢扩展。第二种情况的复杂度是 $O(n^2)$ 的。而且往往需要证出来第二种是对的。某些题目数据范围较大而看着像区间 $dp$ 的时候就想想这种转移。

• 对计数类 $dp$ 如果要求求一个串的不同方案能够匹配，不要光考虑已知部分的自相拼接。这样很容易导致算重。也就是说，我们应该尝试去对要构造的目标来 $dp$ 以达到不会算重的目的，写的时候一定要思路清晰，否则有时候自己的方程会算重到了写完代码才反应过来。

• 看到数据范围很小，先考虑状压；某数据范围很大可以考虑矩阵加速。

• 对于一类需要枚举子集中 $1$ 的位置来转移的 $dp$ 可以用 lowbit 做到一个 $\frac{1}{2}$ 的常数优化。因为原本枚举的是所有位置现在变成只枚举 $1$ 的位置了，常数少了一半。卡常题要用。

• 状压 $dp$ 数据范围大的时候一定要警惕，任何一点点大常数的东西放到转移里面都会让效率大大降低。

• 输出中间变量要在 $dp$ 完了再输出……别还没 $dp$ 就输出了……

• 写 $dp$ 不要忘记转移条件……

• 注意枚举顺序，像背包压维、滚动数组一类的转移顺序都是严格需要注意的。一定不要有后效性！

• 对于斜率优化的柿子 有一种更方便的维护办法 不需要考虑单调性一类的，只需要带上一个 $\log:$ 考虑把方程写成 $f_i+constant_i=k_j\times i+constant_j$ 的形式，那么这样我们就把传统斜率优化的柿子中把 $j$ 看成点变成了把 $j$ 看为以 $k_j$ 为斜率的一条直线，那么对应查询就是直接查询过点 $i$ 的直线最值。这个东西可以很系统化地用李超树来维护。

• 对于传统斜率优化实际就是把每个点和它的 $f_i$ 等看成一个坐标系，而转移的时候斜率固定 $c_i$ ，然后查询所有决策点对应这个斜率的最小/最大截距。

• 计数类 $dp$ 注意是否要乘组合数 如果带着不方便转移就考虑在计算的时候直接把最后计算的除掉 到最后直接乘组合系数

持续$\text{update……}$