特征方程学习笔记
求序列通项公式的一个方法。
二阶齐次线性递推式：#
考虑一个序列\(a_n=Aa_{n-1}+Ba_{n-2}\)的通项公式。
设\(x,y\)则有：
\(a_n-xa_{n-1}=y(a_{n-1}-xa_{n-2})\)
意义就是构造一个等比数列。
继续推：
\(a_n=(x+y)a_{n-1}-xya_{n-2}\)
等量代换：
\(A=x+y,B=-xy.\)
这个序列的特征方程定义为：\(x^2=Ax+B\)
解出来得到：\(x_1=\frac{A+\sqrt{A^2+4B}}{2},x_2=\frac{A-\sqrt{A^2+4B}}{2}\)
又因为\(A=x+y\)得到\(y_1=\frac{A-\sqrt{A^2+4B}}{2},y_2=\frac{A+\sqrt{A^2+4B}}{2}.\)
根据前面式子\(a_n-xa_{n-1}\)是公比为\(y\)的等比数列。
设另一序列\(S\)表示这个等比数列。
\(S_1=a_1-xa_0,S_i=a_i-xa_{i-1},S_i=S_1q^{i-1}\)
得到\(a_i-xa_{i-1}=(a_1-xa_0)q^{i-1}\)
对应两根\(x,y\)带入得到方程组：
\(a_i-x_1a_{i-1}=(a_1-x_1a_0)y_1^{i-1}\)
\(a_i-x_2a_{i-1}=(a_1-x_2a_0)y_2^{i-1}\)
联立一下方程：上式乘以\(x_2\),下式乘\(x_1\)得到
\(x_2a_i-x_1x_2a_{i-1}=x_2(a_1-x_1a_0)y_1^{i-1}\)
\(x_1a_i-x_1x_2a_{i-1}=x_1(a_1-x_2a_0)y_2^{i-1}\)
相减：
\((x_2-x_1)a_i=x_2(a_1-x_1a_0)y_1^{i-1}-x_1(a_1-x_2a_0)y_2^{i-1}\)
\(a_i=\frac{x_2(a_1-x_1a_0)y_1^{i-1}-x_1(a_1-x_2a_0)y_2^{i-1}}{x_2-x_1}\)
对比一下\(x,y\)的关系，可以得到：
\(y_1=x_2,y_2=x_1\)
于是，可以将式子转化为：
观察到，这个式子就是该序列的通项公式。
于是我们可以大力解出特征方程的解，带入如上式子得到通解。
线性分式递推式#
对于形如\(a_{n+1}=\frac{a·a_n+b}{c·a_n+d}\)的递推式：
令两边同时\(+t\)得：
\(a_{n+1}+t=\frac{a·a_n+b}{c·a_n+d}+t=(a+ct)\frac{a_n+\frac{b+dt}{a+ct}}{c·a_n+d}\)
带入一下发现是对的。
令\(t=\frac{b+dt}{a+ct},\)解分式方程化简，两边同乘分母得到：
\(ct^2+(a-d)t-b=0\),解出\(t_1,t_2\)两个根带入上式得方程组：
\(a_{n+1}+t_1=(a+ct_1)\frac{a_n+t_1}{c·a_n+d}\)
\(a_{n+1}+t_2=(a+ct_2)\frac{a_n+t_2}{c·a_n+d}\)
两式子相除得到：
所以，\(\frac{a_{n+1}+t_1}{a_{n+1}+t_2}\)是公比为\(\frac{a+ct_1}{a+ct_2}\)的等比数列。
也就是说，这个序列形如\(a_n=qa_{n-1}\).
那么等比数列通项公式\(a_n=a_1*q^{n-1}\).同理得到：
也就是说，我们把通项公式写成了\(\frac{x+y_1}{x+y_2}=C\)的形式。
解一下：
\(x+y_1=C(x+y_2)\)
\(x+y_1=Cx+Cy_2\)
\(x-Cx=Cy_2-y_1\)
\((1-C)x=Cy_2-y_1\)
\(x=\frac{Cy_2-y_1}{1-C}\).
那么通项公式可以写成：
题目得解。
对于这类递推序列，它的特征方程是：\(x=\frac{ax+b}{cx+d},\)即\(cx^2+(a-d)x-b=0\).
