矩阵初步

矩阵，主要用于递推/$dp$优化，以及特别的题目。

运算：

注意，矩阵有$+,-,*,pow$以及矩阵的逆等运算。本文讨论入门的$+,-,*,pow$.

对于加法：

$$\left[ \begin{matrix} 1&3&5\\ 2&4&7\\ \end{matrix} \right]+ \left[ \begin{matrix} 2&9&7\\ 12&9&3\\ \end{matrix} \right]$$

即为：

$$\left[ \begin{matrix} 3&12&12\\ 14&13&10\\ \end{matrix} \right]$$

就是遵循按位相加的原则，减法同理。
注意矩阵的加减法必须是同行数同列数的矩阵。

对于乘法：

定义$C_{i,j}$是$A,B$两个矩阵乘完之后的矩阵对应的第$i$行第$j$列的元素。

规定$A$为$P*M$的矩阵，$B$为$M*Q$的矩阵。

则有:

$$C_{i,j}=\sum_{k=1}^{M}{A_{i,k}*B_{k,j}}$$

也可以简单理解为，对应行乘以对应列。

矩阵快速幂#

就是一个矩阵的乘方。

注意，只有方阵才有乘方，即列数等于行数$(n*n)$

同样地，若求一个矩阵的$k$次方，可以和二进制快速幂一样，重载乘法即可。

注意提到一个概念：矩阵中，和$1$一样的存在是谁呢?我们称之为 $单位矩阵 ，就是对角线上都是$1$，其它位置都是$0$的矩阵。

通过矩阵乘法定义会发现，一个矩阵乘以单位矩阵(称之为$I$)等于它本身。

一个简单的单位矩阵：

$$\left[ \begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{matrix} \right]$$

代码实现：

struct matrix{
	ll a[4][4];
	matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
	matrix operator*(const matrix&b)const{
		matrix res;
		for(int i=1;i<=2;++i)
			for(int j=1;j<=2;++j)
				for(int k=1;k<=2;++k)
					res.a[i][j]=(res.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
		return res;
	}
}base,ans;
void qpow(int b){
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*base;
		base=base*base;b>>=1;
	}
}

待补$QwQ$