浅谈差分约束系统

前置芝士：SPFA判负环

对于差分约束系统，就是来解决一系列类似下面的问题：

差分约束系统是一种特殊的\(N\)元一次不等式组，它包含\(N\)个变量\(X_1...X_n\)以及\(M\)个约束条件。每个约束条件都是由两个变量做差构成的。

我们要求的是，一组解\(X_1=a,X_2=b...\)满足所有的约束条件。

对于每一个不等式，我们都可以变形成\(X_i-X_j<=C\)的形式，而移项之后，我们会发现它与最短路算法的松弛操作很相似。也就是说，我们可以从\(j\)向\(i\)连一条边长为\(C\)的有向边，跑最短路。

对于形如\(X_i-X_j>=C\)的形式，两边乘以\(-1\)即可。

对于建出来的图，如果存在负环则无解，否则\(X_i=dis[i]\)就是一组解。

对于判负环，那显然就要用到我们的\(Spfa\)了。

例1：\(luogu\) \(P1993\)

显然是一道差分约束的裸题。这是最直接的模型，直接跑即可。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#define MAXN 10001<<1
using namespace std;
inline int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-')w=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return s*w;
}
struct edge{
	int nxt,to,dis;
}e[MAXN<<1];
int head[MAXN<<1],dis[MAXN],opt,a,b,c;
int vis[MAXN],n,m,tot,cnt[MAXN];
queue<int>q;
inline void add(int x,int y,int w){
	e[++tot].to=y;
	e[tot].nxt=head[x];
	e[tot].dis=w;
	head[x]=tot;
}
bool Spfa(int s){
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	dis[s]=0;q.push(s);vis[s]=1;
	while(!q.empty()){
		int k=q.front();
		q.pop();vis[k]=0;
		cnt[k]++;
		if(cnt[k]>=n)return 0;
		for(int i=head[k];i;i=e[i].nxt){
			int j=e[i].to;
			if(dis[j]>dis[k]+e[i].dis){
				dis[j]=dis[k]+e[i].dis;
				if(!vis[j])vis[j]=1,q.push(j);
			}
		}
	}
	return 1;
}
bool spfa(int s){
	vis[s]=1;
	for(int i=head[s];i;i=e[i].nxt){
		int j=e[i].to;
		if(dis[j]<dis[s]+e[i].dis){
			dis[j]=dis[s]+e[i].dis;
			if(vis[j])return 0;
			if(!spfa(j))return 0;
		}
	}
	vis[s]=0;
	return 1;
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i){
		opt=read(),a=read(),b=read();
		if(opt==1){
			c=read();//Xi-Xj>=c
			add(b,a,c);
		}
		else if(opt==2){
			c=read();
			add(a,b,-c);
		}
		else if(opt==3){
			add(a,b,0);
			add(b,a,0);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)add(0,i,0),dis[i]=-0x3f;
	if(!spfa(0))printf("No\n");
	else printf("Yes\n");
	return 0;
} 

练习题：

1.\(luogu\) \(P4878\)

2.\(luogu\) \(P3275\)