【学习笔记】对于母函数的一点理解

由于本蒟蒻太菜，所以只能写一下比较简单的母函数以及应用了，希望对大家有帮助。

定义：对于序列\(A={a_0,a_1....a_n}\)，其对应的母函数为\(F(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+.....\)

就这样，我们构造出了一个母函数。这个是普通型母函数。

我们先讨论一下最简单的母函数：

\(F(x)=1+x+x^2+x^3+...\)

显然等比数列求和公式得到：

\(F(x)=\frac{1}{1-x}\)

我们可以将1看成\(x^0\).

母函数是用来处理组合计数问题的有力工具，先来一道例题加以说明。

现在有7个1,3个2,8个3,5个4，问它们能组成的五位数有多少？

限制要求为：1至少有1个，2和3必须是偶数个（也可以不出现），4只能出现2个或3个。

其实就是一个组合计数，但是是不是一时看起来不太有头绪呢？

我们先来构造一个函数吧。

\(G(x)=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7\)

我们来解释一下：当1出现1次时，是\(x\)，或者说当1出现一次时的问题答案，对应\(x\)；当1出现2次时，是\(x^2\),以此类推。

那么，这个式子的意义就是，当1出现\(1,2,3...7\)次时，一共有多少种答案。

此处我们发现，带\(x\)的项没啥用。也就是说，它只是用来标记的。我们称之为标记函数。

那么，以此类推，让我们构造一下\(2,3,4\)的母函数吧！

\(G_2(x)=1+x^2\)

\(G_3(x)=1+x^2+x^4+x^6+x^8\)

\(G_4(x)=x^2+x^3\)

我们将四个式子乘起来得到：

\(F(x)=G(x)*G_2(x)*G_3(x)*G_4(x)\)

\(=(x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9)*(x^2+x^3+x^4+x^5+...+x^{11})\)

\(=x^3+2x^4+4x^5+6x^6+8x^7+10x^8+12x^9+13x^{10}+14x^{11}+13x^{12}+12x^{13}+...+x^{19}\)

后面没有继续写是因为我们只需要用到前几项，而且后面几项与前面几项成对称（系数）

观察一下吧！

我现在说，\(x^5\)次方的系数就是我们的答案。（也有可能计算出锅了）

我们理解一下：前面已经说过了构造1的母函数的思路，那么显然，其它的也是类似。

那么，我们把所有数位的答案乘起来，不就是总答案了吗！

所以这种题可以被这样切掉。

但是注意，如果对于一些无限的数量的话，我们需要用到指数型母函数，它们的区别就在于标志函数了。

有机会本蒟蒻将会写一下指数型母函数的讲解。于此留下几道例题：

1.现在有7个黄球，8个绿球，2个红球，定义一个组合中必须包含10个球，且限制：

黄球至少有5个，绿球必须是偶数个，红球无限制。（注意不是数量无限制，而是条件无限制）

问，一共有多少种方法组成一个组合呢？

2.现在我们分别有\(1,2,5,9,10g\)的砝码各6个，问：最多能称出多少克的物品？能称出几种不同重量的物品？称出最重的物品有多少种方案？

注意：天平只有一边能放东西。其中，奇数克的砝码只能有奇数个，偶数克的砝码只能有偶数个。

如果有任何的问题请在评论处指出错误，不胜感激。